贝塞尔函数的有关公式

C.贝塞尔函数的有关公式

贝塞尔方程

的持解B p(z)为(柱)贝塞尔函数。有

第一类柱贝塞尔函数J p(z)

p为整数n时，J-n=(-1)n J n；

p不为整数时，J p与J-p线性无关。

第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)

n为整数时N-n=(-1)n N n。

第三类柱贝塞尔函数H p(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数H p(1)(z)= J p(z)+j N p(z) 第二类柱汉开尔函数H p(2)(z)= J p(z)-j N p(z)

大宗量z→∞

小宗量z→0

，为欧拉常数

见微波与光电子学中的电磁理论p668

J n(z)的母函数和有关公式

函数e z(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到

在上式中作代换，令t=e jϕ，t=±je jϕ等，可得

又可得

如z=x为实数

贝塞尔函数的加法公式

J n(z)的零点μni

J’n(z)的零点γni

半整数阶贝塞尔函数

J n+1/2(z)的零点χnp

J'n+1/2(z)的零点χ'np

D．朗斯基行列式及其它关系式

贝塞尔方程中用(j z)代换z，得到修正的贝塞尔方程

方程的两个线性无关的解为

I p(z)=j-p J p(j z)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。

K p(z)=(π/2)j p+1H p(1)(j z)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。

大宗量z→∞

小宗量z→0