直线与平面的垂直关系湘教
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例4、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。 求证：PO⊥平面ABCD
P
D
C
O
A
B
11
[例5] 如右图，在底面为直角梯形的四棱 锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2， BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.
求证：l
l
l
P
A
O
a
b g
C
B
P1
6
例1、下列命题是否正确？为什么？ × (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，
那么这条直线与这个平面垂直。 √ (2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂
直于这个平面内的无数条直线。
7
例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一
个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
l
M
N
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3、平面和平面的距离 设平面平行平面，在平面上任取一点M，我
们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。
M
N
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关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．
注意：在需要平面的垂线时，一般要用性质定理， 在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然 后进一步转化为线线垂直.要熟练掌握“线线垂直”、 “线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用， 这种转化方法是本章内容的显著特征．掌握转化思想方 法是解决这类问题的关键．
空间图形中的有关距离：
1.点与点的距离、点与线的距离、线与线的距离。
2.点 M 和平面的距离
设M是平面外一点，过点M作平面α的垂线，
垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点
M和平面的距离。
M
N
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2、直线l和平面的距离 设直线 l 平行于平面，在直线 l 上任取一点M，
我们把点M到平面的距离叫做直线 l 和平面的距离。
要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂 直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.
证明：设 AC 与 BD 交于点 E. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又 tan∠ABD＝AADB＝ 33，tan∠BAC＝BACB＝ 3， ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC.
数学与统计学院 2010级 徐秀萍
一.直线与平面垂直的判定与性质
1、线面垂直定义： 一般地，如果一条直线 l 与平面α上的任何
直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直，
记作： l ⊥.
直线 l 叫做平面的垂线，
l
平面叫做直线l的垂面，
l 与的交点P叫做垂足.
P
画法：画直线与平面垂直时，
通常把直线画成与表示平面
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面。
例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、 CC1的中点，判断下列结论是否正确？
× ①AC⊥面CDD1C1 √ ②AA 1⊥面A1B1C1D1 √ ③AC⊥面BDD1B1 √ ④EF⊥面BDD1B1 √ ⑤AC⊥BD1 √ ⑥BD⊥A1F
即时训练： 如右图所示，P为△ABC所在平面外一 点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E， AF⊥PC于F.
求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF.
证明：(1)∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， ∵AF⊥PC，AE∩AF＝A， ∴PC⊥平面AEF. 而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.
的平行四边形的一边垂直。
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线面垂直直观图的画法：
a
a
m
n
Βιβλιοθήκη Baidu
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2.线面垂直的判断定理:
如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂 直，那么直线 l 与平面垂直。
已知：a , b , a b O，l a, l b 求证：l
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已知：a ,b , a b O，l a,l b
已知：a // b, a , 求证：b
ab
在上作两条相交直线
mn P
a ,m ,n ,
P
m n
a m, a n, a // b b m,b n, m n P
b
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3.线面垂直的性质（公理） (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；
(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。 直线和平面垂直的性质 1.一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直 于平面内的任意直线． 2.垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一 直线的两平面平行．
三维设计P30：心之得，梦之旅
例4、已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD。 求证：PO⊥平面ABCD
P
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A
B
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[例5] 如右图，在底面为直角梯形的四棱 锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2， BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.
求证：l
l
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A
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b g
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例1、下列命题是否正确？为什么？ × (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，
那么这条直线与这个平面垂直。 √ (2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂
直于这个平面内的无数条直线。
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例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一
个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
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3、平面和平面的距离 设平面平行平面，在平面上任取一点M，我
们把点M到平面的距离叫做平面和平面的距离。
M
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关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．
注意：在需要平面的垂线时，一般要用性质定理， 在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然 后进一步转化为线线垂直.要熟练掌握“线线垂直”、 “线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用， 这种转化方法是本章内容的显著特征．掌握转化思想方 法是解决这类问题的关键．
空间图形中的有关距离：
1.点与点的距离、点与线的距离、线与线的距离。
2.点 M 和平面的距离
设M是平面外一点，过点M作平面α的垂线，
垂足为N，我们把点M到垂足N之间的距离叫做点
M和平面的距离。
M
N
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2、直线l和平面的距离 设直线 l 平行于平面，在直线 l 上任取一点M，
我们把点M到平面的距离叫做直线 l 和平面的距离。
要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相交直线与BD垂 直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.
证明：设 AC 与 BD 交于点 E. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，∴PA⊥BD. 又 tan∠ABD＝AADB＝ 33，tan∠BAC＝BACB＝ 3， ∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠AEB＝90°，即 BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC.
数学与统计学院 2010级 徐秀萍
一.直线与平面垂直的判定与性质
1、线面垂直定义： 一般地，如果一条直线 l 与平面α上的任何
直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直，
记作： l ⊥.
直线 l 叫做平面的垂线，
l
平面叫做直线l的垂面，
l 与的交点P叫做垂足.
P
画法：画直线与平面垂直时，
通常把直线画成与表示平面
3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面。
例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、 CC1的中点，判断下列结论是否正确？
× ①AC⊥面CDD1C1 √ ②AA 1⊥面A1B1C1D1 √ ③AC⊥面BDD1B1 √ ④EF⊥面BDD1B1 √ ⑤AC⊥BD1 √ ⑥BD⊥A1F
即时训练： 如右图所示，P为△ABC所在平面外一 点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E， AF⊥PC于F.
求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF.
证明：(1)∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， ∵AF⊥PC，AE∩AF＝A， ∴PC⊥平面AEF. 而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.
的平行四边形的一边垂直。
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线面垂直直观图的画法：
a
a
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2.线面垂直的判断定理:
如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂 直，那么直线 l 与平面垂直。
已知：a , b , a b O，l a, l b 求证：l
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已知：a ,b , a b O，l a,l b
已知：a // b, a , 求证：b
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在上作两条相交直线
mn P
a ,m ,n ,
P
m n
a m, a n, a // b b m,b n, m n P
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3.线面垂直的性质（公理） (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；
(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直。 直线和平面垂直的性质 1.一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直 于平面内的任意直线． 2.垂直于同一平面的两条直线平行,垂直于同一 直线的两平面平行．
三维设计P30：心之得，梦之旅