人教版高中数学必修二：球的概念和性质
球的高考知识点
球的高考知识点球是我们生活中常见的物体，同时也是高中物理和数学中的一个重要知识点。
本文将为大家介绍球的高考知识点，以帮助大家更好地理解和掌握相关内容。
一、球的定义和基本特性球是由一条旋转半径相同的圆，绕着圆上的一条直径旋转一周形成的立体图形。
球的基本特性包括以下几点：1. 球面：球面是由球上所有的点组成的，球面上的点到球心的距离都相等。
2. 球心：球的中心点称为球心，一条通过球心的线段叫做球的直径。
3. 半径：从球心到球面上的点的距离叫做球的半径，用字母r表示。
4. 直径：通过球心的一条线段，两端点都在球面上，叫做球的直径，直径长度等于半径的两倍，用字母d表示。
5. 体积：球的体积用V表示，计算公式为V = (4/3)πr³，其中π取近似值3.14。
二、球的表面积和体积计算公式1. 表面积：球的表面积用S表示，计算公式为S = 4πr²。
对于高考常见的表面积计算问题，可以利用该公式进行求解。
2. 体积：球的体积计算公式在上一节已经介绍过，即V = (4/3)πr³。
同样，高考中的体积计算问题可以通过这一公式进行求解。
三、球与其他几何体的相关知识1. 球与圆的关系：球是由一个圆绕其直径旋转形成的，因此球和圆密切相关。
当我们研究圆的性质时，部分性质也可以应用到球上。
2. 球与圆柱的关系：圆柱是由一个圆绕着某根轴旋转形成的，如果我们将这个圆柱按照某个截面切割，所得到的截面是一个圆。
这个圆的半径就是圆柱的底面圆的半径。
同理，当我们将一个球按照某个截面切割，所得到的截面是一个圆。
3. 球与球柱的关系：球柱是由一个圆绕着某根轴旋转形成的，当我们将球柱按照某个截面切割，所得到的截面是一个圆。
这个圆的半径与底面圆的半径相等。
四、高考例题解析1. 示例1：一个半径为r的球上有n个点，这些点两两之间都可以连成一条弦，求弦的条数。
解析：每个点都可以与其他n-1个点连成一条弦，但是由于弦没有方向，所以每条弦被算作两次。
人教版数学必修2课件-球的体积和表面积
例2 圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题
练习
1. 教科书P.28 练习 第1、3题 2. 教科书P.28 练习 第2题
一个正方体的 顶点都在球面上， 它的棱长是a cm， 求球的体积．
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
例1 有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
球的概念性质
球的概念性质球是一种几何体，由三维空间中的一个点（球心）和到该点固定距离的所有点（球面）组成。
它是一种非常简单而重要的几何形状，具有许多独特的概念性质。
在本文中，我将详细介绍球的概念性质，并探讨它们在数学、物理和日常生活中的应用。
首先，球具有对称性。
球是唯一具有球面上的每一点到球心距离相等的形状。
这种对称性可在数学中表示为球面的任何两点都具有相等的距离公式：d =sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
这种对称性使球在许多数学问题中成为理论分析和计算的基础，例如球体的体积和表面积计算以及球体的球谐函数等。
其次，球是最大体积的几何体。
在给定表面积的条件下，球的体积是最大的。
这个原理可以通过数学推导得出，即通过求解某种约束条件下的优化问题（例如拉格朗日乘子法），可以得到球对应的最大体积。
这个性质在物理学中很重要，例如在包装设计、物体运动和力学问题中，可以利用这个性质来优化设计和计算最佳解。
球还具有自己独特的几何性质。
一个球的表面由无数个相互等间距的点组成，这些点构成了球面上的等距网格。
这种性质使球面在三维建模、计算机图形学和计算机游戏等领域有广泛的应用，例如在球体几何体和表面绘制中，可以利用球面的坐标和法线来进行计算和渲染。
此外，球在物理学中具有很多重要的应用。
在力学和动力学中，球被用作模型进行分析和计算，例如球体的运动和碰撞。
球体的轨迹和运动方程在物理实验和计算模拟中经常出现。
球体在天体物理学中也很重要，例如描述行星、恒星和其他天体的形状和特性。
在日常生活中，球也是非常常见的物体。
例如，足球、篮球和乒乓球等运动中广泛使用球体。
球体在建筑和雕塑中常用作设计元素，例如圆形穹顶和雕塑中的球形部分。
另外，球体也在很多游戏和玩具中出现，例如台球、保龄球和彩色球等。
总结起来，球作为一种几何体具有许多独特的概念性质。
它具有对称性、最大体积以及自己独特的几何性质。
球体在数学、物理学和日常生活中有广泛的应用，例如求解优化问题、描述物体运动和碰撞以及作为设计元素和玩具。
球的基本概念与性质
球的基本概念与性质[正文]球的基本概念与性质球是几何学中的一种基本图形，具有独特的几何性质和广泛的应用领域。
本文将介绍球的基本概念、性质和一些相关应用，帮助读者更好地理解和运用球体。
一、球的概念球是由空间中的一点（球心）到该点距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离就是球的半径。
球体由无数的点组成，点与点之间的距离都相等。
球体的形状是完全圆形的，在三维空间中没有棱角和边缘。
二、球的性质1. 表面积球的表面积是指球体外表面的总面积，通常用单位平方表示。
球的表面积可以通过公式计算：表面积= 4πr²其中，r为球的半径，π（pi）为圆周率，近似取作3.14。
2. 体积球的体积是指球体内部所占的空间大小，通常用单位立方表示。
球的体积可以通过公式计算：体积= (4/3)πr³同样地，r表示球的半径，π为圆周率。
3. 对称性球具有高度的对称性，即球体的任意点都可看作是球心的相对称点。
球的对称性是球体在许多应用领域中得以广泛应用的重要原因之一。
4. 等距特性球体上的任意两点之间的距离都是相等的。
这种等距特性使得球能够广泛应用于测量、航天、地理等领域。
5. 最小表面积特性在所有具有相同体积的几何体中，球是唯一拥有最小表面积的。
因此，在某些优化问题中，球体可作为最佳的选择。
三、球的应用1. 空间几何球体是空间几何中的重要概念，广泛应用于数学、物理学和工程学中。
例如，建筑师在设计穹顶、圆形建筑物等时，就需要运用球体的知识；航天器的外形大多选择球体，以减少气流阻力，提高飞行效率。
2. 地理测量在地理测量学中，球体常被用来近似地球的形状。
地球作为一个近乎球形的天体，球体的概念在地理测量中具有重要意义。
通过球体的性质，我们可以计算球体上点之间的距离、角度等，从而实现地球测量和导航。
3. 球体运动球体的性质也适用于描述和分析球体的运动。
例如，足球、篮球、网球等体育运动就是基于球体的运动规律展开的。
球体在运动中滚动、弹跳、投掷等，其运动规律可以通过球体的特性进行研究和解析。
高中几何知识解析球的性质与判定
高中几何知识解析球的性质与判定几何学是数学的一个重要分支，而高中几何知识在数学学科中占据着重要的地位。
在高中几何学中，球是一个常见的几何体，它具有独特的性质和判定方法。
本文将对球的性质与判定进行解析和阐述。
一、球的性质球是一种特殊的立体，它具有以下几个重要的性质：1. 球面：球的外形是一个连续的、曲面称为球面。
球面上的任意两点到球心的距离相等，这被称为球面上的点到球心的距离是定值的性质。
球面上所有点的集合构成了球体。
2. 球心：球的球心是球面的中心点，也是整个球体的中心点。
球心到球面上的任意一点的距离都是定值。
3. 直径：直径是球的一个特殊线段，它通过球心且两端点位于球面上。
直径的长度是球的最大长度，它等于两点之间的距离。
4. 半径：半径是球心到球面上的任意一点的距离。
球的半径相等，这意味着球的半径是定值。
5. 表面积：球体表面的总面积称为球的表面积。
球的表面积的计算公式是4πr²，其中r是球的半径。
6. 体积：球体的总体积称为球的体积。
球的体积的计算公式是4/3πr³，其中r是球的半径。
以上是球的几个重要性质，了解了这些性质，我们可以更好地理解球的特点。
二、球的判定在几何学中，判定是一种重要的思维方式。
对于球，我们可以利用几何推理和几何知识进行判定。
1. 判定球体：给定一个几何体，我们可以用以下方法判断它是不是一个球体：- 判断是否有球心：如果一个几何体中存在一个点，且该点到几何体上的所有点的距离相等，那么该几何体就是一个球体。
- 判断是否有球面：如果一个几何体的外形是一个连续的、曲面，并且该曲面上的任意两点到一个确定的点的距离相等，那么该几何体就是一个球体。
2. 判定半径和直径：已知一个球体，我们可以用以下方法判断它的半径和直径：- 判断半径：选择球体上的两个不在同一直径上的点A和B，通过测量点A到球心的距离和点B到球心的距离，如果两个距离相等，那么该距离就是球的半径。
- 判断直径：选择球体上的两个点A和B，并且这两个点恰好在同一直径上，通过测量点A到点B的距离，该距离就是球的直径。
球的知识点高一数学人教版
球的知识点高一数学人教版高一数学人教版中，球的知识点是一项重要的内容。
在本文中，将从球的定义、球的特性和球的运算三个方面来论述。
一、球的定义球是一个十分简单又常见的几何形状。
在空间中，所有与一个给定点的距离相等的点构成了一个球体。
而球面就是球的表面，球心则是球的中心点。
通过这些定义，我们可以清晰地认识到球的几何属性。
二、球的特性1. 球的表面积球的表面积是球面的总面积，是球这个几何体的一个重要特性。
根据公式S = 4πr²，其中S表示表面积，r表示球的半径，π近似为3.14。
根据这个公式，我们可以方便地计算出球的表面积。
2. 球的体积球的体积是球的一种重要特性，代表了球所占据的空间大小。
根据公式V = (4/3)πr³，其中V表示体积，r表示球的半径，π近似为3.14。
通过这个公式，我们可以计算出球的体积。
3. 球的切线球的切线是指直线与球面相切于球面上的一点。
切线与球面的交点是切点，而球心、切点和切线的交点构成一个直角三角形。
了解球的切线可以帮助我们进一步认识球的特性和性质。
三、球的运算在数学中，我们可以进行一些与球相关的运算，如球与平面的交点、球与直线的交点等。
1. 球与平面的交点球与平面的交点是指球面与平面相交的点。
确定球与平面的交点可以帮助我们解决一些几何问题。
2. 球与直线的交点球与直线的交点是指球面与直线相交的点。
通过球与直线的交点，我们可以求解一些直线与球相关的几何问题。
以上便是关于球的知识点的一些介绍。
理解和掌握这些知识，不仅可以帮助我们更好地解决与球相关的数学问题，还可以培养我们的几何思维和空间想象能力。
通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握球的特性和运算，拓展自己的数学视野。
总结起来，球是数学中的一个重要几何形状，具有许多特性和运算方式。
通过学习和理解球的知识点，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
希望通过本文的介绍，能够对高一数学人教版中的球的知识点有一个较为全面的了解。
高中数学：1.1.1《球的性质》课件(新人教A必修2)(通用)
A
K
B 40° O
经线和纬线 经线：地球面从北极到南极的半个大圆。 纬线：赤道及与赤道平面平行的截面截地球面所
得的小圆。
北极
纬线
C
A
B
0°
O
经线
南极
赤道
某点纬度— 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角。
说明： 小圆半径r与球半 径R及纬度的关系
r =R × cosθ
解:由题AB=BC=CA=12cm
△ABC是正三角形
则截面圆是△ABC的
外接圆,故截面圆半径
r
=
1
2
AB
sinBAC
= 4 3 (cm)
O
B
Rd
则可得
A
d = R 2 - r 2 = 11(cm)
rE
C
练习：经过球面上两个不同的点， 可以得到多少个大圆（ B ） Ａ．１个 Ｂ．１个或无数个 C．２个 Ｄ．２个或无数个
课堂练习
用一个平面截半径为25cm的球,截面面积 是49πcm2,求球心到截面的距离.
变式 已知球的半径为25cm,被两个平行平 面所截,两个截面的面积分别49πcm2 和225πcm2,求两个截面之间的距离.
课堂小结:
1.球及球面的概念； 2.大圆、小圆的概念； 3.球的截面 ①形状(圆) ②垂直关系和数量关系 4.地球经纬度的含义
球和它的性质
球:与定点的距离等于或小于定长的所有点的集合叫 做球体,简称球.
定点叫做球心;定长叫做球的半径. 一个球用表示它的球心的字母来表示,例如:球O.
球的直径
球心
O
O
球的半径
用一个平面去截一个球,所得截面是什么图形？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
用旋转的观点定义： 半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面 叫做球面。 半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几 何体叫做球体。(球是旋转体 )
A
. .
O
绕直径旋转一周
.
O
B
二、球的画法及组成元素
1、球心：半圆的圆心；如 O；记作：球O。 2、球的半径：连接球心 和球面上任意一点的线段； 3、球的直径：连接球面 B 上两点并且经过球心的 线段； 4、球面
一、情景设置
1、圆的定义
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹 叫做圆。 圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。 圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于 定长的点的轨迹叫做圆面。
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做 小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
4、球的性质：
1°用一个平面去截球，截面是圆面， 用一个平面去截球面，截线是圆 。
2°球心和不过球心的截面圆心的连线 垂直于截面 3°球心到截面的距离d与球的半径R及 截面圆的半径r，有下面的关系：
球面距离
• 在球面上两点 之间的最短距离 就是经过这两点 的大圆在这两点 间的劣弧的长度 ——这个弧长叫 两点的球面距离。
P O
Q
口
答
1．A、B 为球面上相异两点，则通过A、 B两点可作球的大圆有（ ） A．一个 C．零个 B．无穷多个 D．一个或无穷多个
2．判断：过球面上相异两点A、B总可 作无数个小圆（ ）
K
A 40 ° O B O A北京
K
解：作轴截面如图，A是北 纬40°圈上的一点，AK是它 ∵∠AOB=∠OAK=40°， 的半径，所以OK⊥AK 。设 ∴c= 2 π ×AK = … c是北纬40°的纬线长。
1.设地球的半径为R，在北纬30 °圈上有甲乙两地， 它们的经度相差120 ° ，那么这两地的纬线的长为
C
O
A
问题2：一条直线与圆相交，在 圆内的部分是什么图形？
把直线换成平面，圆换成球， 即用一个平面去截球，情况又怎 样呢？
想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截一 个球，截面是圆面。 O
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。
大圆和小圆
三、地球仪中的经纬度
1、经线和纬线的规定：
过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线。
2、经度和纬度的规定：
北极
纬线 P A
G
O
赤道
P地的纬度就是 经过P点的球半 径和赤道平面 所成的线面角 ∠POA的度数
等于∠GPO的度 数
南极
经线
三 地球的经度纬度 经度
由地理知识知：AOB 为P点所在经线的经度。
r R d2源自2例1．两平行平面截半径为13的球，若截面面积 144 ，则这两个平面间的距离是 分别为 25 、 _______________．
B A 13 O 13 N BN=5，AM=12
M
O
.
F
ON=12，OM=5
练习：已知半径为R的球面上有三点A、 B、C 且AC=8，BC=6,AB=10球心到平 面ABC的距离是12，则R=
四、课堂小结 本节课主要学习了球的概念和性质，以及经纬度的 概念，下面我们一起来作一回顾： 1、球面是指 ；球是指 。
2、
的平面截球面，所得截线是大圆；
的平面截球面，所得截线是小圆。
3、由 、 的直角三角形。
、
构成了一个十分重要
4 、有关球的计算问题常可化为圆或三角形等平面 问题来处理。
北极 P 地 轴 O 线 A 道 赤
本 初 子 午
纬度
纬度
纬度： 某点的纬度就是经过这点
的球半径与赤道面所成角的度数.
北极
由地理知识知：
AOP为
P点
地 P 轴 O
所在纬线的纬度。
道 赤 A
例1 我国首都北京靠近北纬40 ° ，求北纬线的 长度（地球半径约6370km,cos40°≈0.77）。
___________ 2.设地球的半径为R，在北纬30 °圈上有A、B 两点，它们的经度相差180 ° ，则A、B两点的 球面距离是___________
3.过球面上两点可作一个且只能作一个大圆 ( 4.垂直于球的半径的平面是这个球的切面 5.过球面上任意两点都有无数个小圆 ( ( )
) )
参考答案