流体动力学基础3
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(1)出流速度v (2)出流流量Q
解： (1)设流动符合不可压缩无粘性 流体定常流动条件.
从自由液面上任选一点1画一条
流线到小孔2，并列伯努利方程
2 v12 p1 v2 p2 gz1 gz 2 2 2
(a)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强 p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓 线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。 求： 解： 充分发展流动的速度廓线表达式 设充分发展流动的速度廓线为 指数形式
U
R
u um(1 r )n R
V3 4Q3 4 0.07 61000 18.2cm/s 2 2 60 π d3 π 0.7
V4
V5
4Q4 4 0.04 61000 8.0 cm/s 2 2 60 π d4 π 0.8
4Q5 4 0.78 61000 24.8cm/s 2 π d5 π 2.02 60
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
(e)
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h) 应考虑速度不均匀分布的影响。
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.4
不定常伯努利方程
v v2 p ds gz 常数 t 2
沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程
DN sys Dt
N sys t d
NCV t d
CV
CV d CS v ndA t
①
②
③
①系统广延量的导数，称为系统导数。
②控制体广延量随时间变化率,
称为当地变化率 ；当流场定常时为零。
③通过控百度文库面净流出的广延量流量,
称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。
(沿流束)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
已知: 文德利管如图所示
求： 解： 管内流量Q 设流动符合不可压缩无粘性流体定常
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ.设
1 2 1
由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p1 p2 ( gz1 ) ( gz 2 ) 2
(b)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1
gz 2
p1
gz3
gz 4
p3
由(b)式可得
2π um (1) 2n 2 R 2 πR U (n 1)( n 2)
2
um
(n 1)( n 2) U 2
取 n=1/7时
1 1 ( 1)( 2) 8 15 7 um 7 U U 1.224U
2
2 7 7
或
U = 0.8167 u m
d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1
求： 解：
Q2 及各管的平均速度
取图中虚线所示控制体，有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理
Qout Qin
可得 Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
由(c) , (d)式可得
(d) (e)
p0 p ( m ) gh
m v k( 1) 2 gh
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.3
伯努利方程的水力学意义
1. 沿流线的水头形式
v2 p z H 常数 2g ρg
(沿流线)
• 输运公式计算取决于控制体(面)的选择
B4 积分形式的基本方程
B4.2
积分形式的连续性方程
输运公式可用于任何分布函数 η ，如密度分布、动量分布、能 量分布等。 令 η ρ ，由系统的质量不变可得连续性方程
ρdτ ρ vn dA 0 t CV CS
B4.2.1
固体的控制体
沿总流的伯努利方程
v2 p dn gz 常数(沿流线法线方向) R ρ
1. 单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒
惯性离心力做功
重力势能
压强势能
当流线曲率半径 R ，变为 gz
p
常数，符合静力学规律。
2. 沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
B4 积分形式的基本方程
B4.3
伯努利方程及其应用
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义 伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分
伯努利方程的限制条件：
(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体 (3) 定常流动 (4) 沿流线成立
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.2
• 一般式
mout mi n
• 有多个出入口 ( VA)out ( VA)in
2.沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为 • 一般式 • 有多个出入口
Q VA
Qout Qin
(VA)
out (VA)in
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm,
小孔出流量
(c)
Q vAe vA A 2 gh
(d)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关： 锐角边ε= 0.61, 内伸管ε= 0.5, 流线型圆弧边ε=1.0. 实际孔口出流应乘上一修正系数 k < 1
Q kA 2 gh A 2 gh
由连续性方程
V22 V12 ( m 1) gh 2 A V2 1 V1 A2
V1 2 gh
2
(f)
代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为
上式中
( m / g ) 1 ( A1 / A2 ) 2 1
μ称为流速系数，文德利管的流量公式为
(c)
p2
p4
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z 4 z5 h z3 h
p3 m gh
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g ( z 3 h)
(e)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程 将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
v v2 2 g ( z1 z 2 ) 2 gh
(b)
讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为 零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭 缝出流。 (2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
Ae A
由连续性方程:
(n 1,2)
(a)
式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.
UdA 0R um(1 r )n 2π rdr A R
(b)式左端=πR
2U,
(b)
2π um (1)n R r(r R)n dr (b)式右端= 0 Rn
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 由积分公式可得
= 0.11Q1= 0.66 l / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 各管的平均速度为
4Q1 4 6 1000 V1 20.4cm/s 2 2 π d1 π 2.5 60
V2 4Q2 4 0.662 1000 11.6cm/s π 1.1 60 π d22
v2 2g z p
速度水头
位置水头
压强水头 总水头
测压管水头
H
2. 沿流束的水头形式
α1V12 p1 α2V22 p2 z1 z2 2g ρg 2g ρg
(沿流束)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
已知:
求：
图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.
Q A1 2 gh
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2， 且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不 影响应用伯努利方程。
B4
积分形式的基本方程
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
设η=ρv,流体系统动量
沿流线从位置1积分到位置2
2 v v1 p1 v2 p2 gz1 gz2 ds 1 t 2 2 2 2
(沿流束)
不定常惯性力作功 沿流束的水头形式
α1V12 p1 α2V22 p2 1 2 V z1 z2 dl 1 t 2g ρg 2g ρg g
0
R
r (r R) n dr
R R 1 R 1 rd(r R) n1 r (r R) n1 (r R) n1 dr 0 0 n 1 0 n1
1 (1) n 2 R n 2 n2 R (r R) 0 (n 1)( n 2) (n 1)( n 2)
V 2
2 gz p
常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取 1 ）
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
[例B4.3.1] 毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v
B4 积分形式的连续性方程
B4.2.2
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度 改成相对速度vr
CV d CS (vr n)dA 0 t
对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时
( Vr A)out ( Vr A)in
上式中
ρ ，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。
1 2 pv 2
(b)
[例B4.3.1] 毕托测速管
1 2 v 称为动压强,p0称为总压强 2
1 2 v p 0 p 2
AB的位置差可忽略
(c)
2 1 2 p vB p B v 2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
1 2 ( m ) gh k v 2
解：
设流动符合不可压缩无粘性流体
定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿 流线AO段列伯努利方程
2 p0 v2 p v0 gz A g z0 2 2
(a)
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0 p
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
d ρ( vn )dA CS CV t
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。
B4.2 积分形式的连续性方程
B4.2.1
固体的控制体（续）
1.沿流管的定常流动 设出入口截面上的质流量大小为
m VA
B4 积分形式的基本方程
B4
积分形式的基本方程
伯努利方程 输运公式 系统导数
连续性方程
动量方程
动量矩方程
能量方程
固 定 控 制 体
运 动 控 制 体
固 定 控 制 体
匀 速 运 动 控 制 体
固 定 控 制 体
旋 转 控 制 体
固 定 控 制 体
B4 积分形式的基本方程
B4.1
流体方程的随体导数
系统广延量 控制体广延量 • 输运公式
解： (1)设流动符合不可压缩无粘性 流体定常流动条件.
从自由液面上任选一点1画一条
流线到小孔2，并列伯努利方程
2 v12 p1 v2 p2 gz1 gz 2 2 2
(a)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强 p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓 线, 不断发展至指数形式分布(湍流)并不再变化称为充分发展流动。 求： 解： 充分发展流动的速度廓线表达式 设充分发展流动的速度廓线为 指数形式
U
R
u um(1 r )n R
V3 4Q3 4 0.07 61000 18.2cm/s 2 2 60 π d3 π 0.7
V4
V5
4Q4 4 0.04 61000 8.0 cm/s 2 2 60 π d4 π 0.8
4Q5 4 0.78 61000 24.8cm/s 2 π d5 π 2.02 60
上式中μ= kε,称为流量修正系数，由实验测定。
(e)
讨论2：上述各式均只适用于小孔情况(孔直径d≤0.1h),对大孔口(d >0.1h) 应考虑速度不均匀分布的影响。
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.4
不定常伯努利方程
v v2 p ds gz 常数 t 2
沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程
DN sys Dt
N sys t d
NCV t d
CV
CV d CS v ndA t
①
②
③
①系统广延量的导数，称为系统导数。
②控制体广延量随时间变化率,
称为当地变化率 ；当流场定常时为零。
③通过控百度文库面净流出的广延量流量,
称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。
(沿流束)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程
已知: 文德利管如图所示
求： 解： 管内流量Q 设流动符合不可压缩无粘性流体定常
流动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、
V 2，流体密度为ρ.设
1 2 1
由一维平均流动伯努利方程
V12 p1 V22 p gz1 gz 2 2 2 2
移项可得
(a)
V22 V12 p1 p2 ( gz1 ) ( gz 2 ) 2
(b)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程 A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
gz1
gz 2
p1
gz3
gz 4
p3
由(b)式可得
2π um (1) 2n 2 R 2 πR U (n 1)( n 2)
2
um
(n 1)( n 2) U 2
取 n=1/7时
1 1 ( 1)( 2) 8 15 7 um 7 U U 1.224U
2
2 7 7
或
U = 0.8167 u m
d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1
求： 解：
Q2 及各管的平均速度
取图中虚线所示控制体，有多个出入口。 血液按不可压缩流体处理
Qout Qin
可得 Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1－(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1－(0.07+0.04+0.78)Q
由(c) , (d)式可得
(d) (e)
p0 p ( m ) gh
m v k( 1) 2 gh
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.3
伯努利方程的水力学意义
1. 沿流线的水头形式
v2 p z H 常数 2g ρg
(沿流线)
• 输运公式计算取决于控制体(面)的选择
B4 积分形式的基本方程
B4.2
积分形式的连续性方程
输运公式可用于任何分布函数 η ，如密度分布、动量分布、能 量分布等。 令 η ρ ，由系统的质量不变可得连续性方程
ρdτ ρ vn dA 0 t CV CS
B4.2.1
固体的控制体
沿总流的伯努利方程
v2 p dn gz 常数(沿流线法线方向) R ρ
1. 单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒
惯性离心力做功
重力势能
压强势能
当流线曲率半径 R ，变为 gz
p
常数，符合静力学规律。
2. 沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
B4 积分形式的基本方程
B4.3
伯努利方程及其应用
伯努利（D.Bernouli 1700－1782）方程的提出和意义 伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分
伯努利方程的限制条件：
(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体 (3) 定常流动 (4) 沿流线成立
B4.3
伯努利方程及其应用
B4.3.2
• 一般式
mout mi n
• 有多个出入口 ( VA)out ( VA)in
2.沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为 • 一般式 • 有多个出入口
Q VA
Qout Qin
(VA)
out (VA)in
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm,
小孔出流量
(c)
Q vAe vA A 2 gh
(d)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
收缩系数ε与孔口边缘状况有关： 锐角边ε= 0.61, 内伸管ε= 0.5, 流线型圆弧边ε=1.0. 实际孔口出流应乘上一修正系数 k < 1
Q kA 2 gh A 2 gh
由连续性方程
V22 V12 ( m 1) gh 2 A V2 1 V1 A2
V1 2 gh
2
(f)
代入(f)式,整理后可得大管的平均速度为
上式中
( m / g ) 1 ( A1 / A2 ) 2 1
μ称为流速系数，文德利管的流量公式为
(c)
p2
p4
(d)
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p4 p5 m gh p3 m gh
及
z 4 z5 h z3 h
p3 m gh
将上两式代入(d)式可得
gz 2
p2
g ( z 3 h)
(e)
[例B4.3.4] 文德利流量计：一维平均流动伯努利方程 将(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得
v v2 2 g ( z1 z 2 ) 2 gh
(b)
讨论1：(b)式称为托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上与初始速度为 零的自由落体运动一样.(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭 缝出流。 (2)在小孔出口,发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数ε
Ae A
由连续性方程:
(n 1,2)
(a)
式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.
UdA 0R um(1 r )n 2π rdr A R
(b)式左端=πR
2U,
(b)
2π um (1)n R r(r R)n dr (b)式右端= 0 Rn
[例B4.2.2] 圆管入口段流动：速度廓线变化 由积分公式可得
= 0.11Q1= 0.66 l / min
[例B4.2.1] 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 各管的平均速度为
4Q1 4 6 1000 V1 20.4cm/s 2 2 π d1 π 2.5 60
V2 4Q2 4 0.662 1000 11.6cm/s π 1.1 60 π d22
v2 2g z p
速度水头
位置水头
压强水头 总水头
测压管水头
H
2. 沿流束的水头形式
α1V12 p1 α2V22 p2 z1 z2 2g ρg 2g ρg
(沿流束)
[例B4.3.2]
小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应
已知:
求：
图示一敞口贮水箱,孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.
Q A1 2 gh
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文德利管的面积比A1/A2， 且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不 影响应用伯努利方程。
B4
积分形式的基本方程
B4.4
积分形式的动量方程及其应用
设η=ρv,流体系统动量
沿流线从位置1积分到位置2
2 v v1 p1 v2 p2 gz1 gz2 ds 1 t 2 2 2 2
(沿流束)
不定常惯性力作功 沿流束的水头形式
α1V12 p1 α2V22 p2 1 2 V z1 z2 dl 1 t 2g ρg 2g ρg g
0
R
r (r R) n dr
R R 1 R 1 rd(r R) n1 r (r R) n1 (r R) n1 dr 0 0 n 1 0 n1
1 (1) n 2 R n 2 n2 R (r R) 0 (n 1)( n 2) (n 1)( n 2)
V 2
2 gz p
常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取 1 ）
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
[例B4.3.1] 毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v
B4 积分形式的连续性方程
B4.2.2
运动的控制体
将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度 改成相对速度vr
CV d CS (vr n)dA 0 t
对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时
( Vr A)out ( Vr A)in
上式中
ρ ，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。
1 2 pv 2
(b)
[例B4.3.1] 毕托测速管
1 2 v 称为动压强,p0称为总压强 2
1 2 v p 0 p 2
AB的位置差可忽略
(c)
2 1 2 p vB p B v 2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
1 2 ( m ) gh k v 2
解：
设流动符合不可压缩无粘性流体
定常流动条件。
AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿 流线AO段列伯努利方程
2 p0 v2 p v0 gz A g z0 2 2
(a)
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0 p
对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为
d ρ( vn )dA CS CV t
上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。
B4.2 积分形式的连续性方程
B4.2.1
固体的控制体（续）
1.沿流管的定常流动 设出入口截面上的质流量大小为
m VA
B4 积分形式的基本方程
B4
积分形式的基本方程
伯努利方程 输运公式 系统导数
连续性方程
动量方程
动量矩方程
能量方程
固 定 控 制 体
运 动 控 制 体
固 定 控 制 体
匀 速 运 动 控 制 体
固 定 控 制 体
旋 转 控 制 体
固 定 控 制 体
B4 积分形式的基本方程
B4.1
流体方程的随体导数
系统广延量 控制体广延量 • 输运公式