理论力学理论力学3 第三章
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MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
例3-4
已知： F,l, a,
F
求： M x F , M y F , M z F
解： 把力 F分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
M F, F M rBA F
✓ 空间力偶的三要素：
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方位：与力偶作用面相垂直； （3） 指向：与力偶转向服从右手
螺旋法则。
M rBA F rAB F
二.力偶的等效定理
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) (yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MO (F )x yFz zFy MO (F ) y zFx xFz MO (F )z xFy yFx
✓ 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
空间汇交力系 的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
Fz 0 FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
§3–2 力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
✓ 三要素：
(1）大小：力大小与力臂乘积 （2）转向：力绕矩心转动方向 （3）方位：力矩作用面的方位
MO(F) r F
力矩矢的方位和力矩作用面的法线方向相同， 力矩矢的指向可用右手螺旋法则确定。
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直 于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力.
——空间力偶系的平衡方程.
例3-5已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶的矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
将空间力偶用力 偶矩矢表示，平 行移到点A.
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-1 已知： Fn , ,
求：力 F在n 三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin
Fy Fxy cos Fn cos cos
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
✓ 空间汇交力系的合力: FR Fi
✓ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合矢量（力）投影定理
二.力对轴的矩（代数量）
度量力对绕定轴转动刚体的作用效果。
Mz (F) MO(Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 对该轴的矩为零。
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) MO (Fyz ) MO (Fy ) MO (Fz ) Fz y Fy z M y (F) MO (Fxz ) MO (Fx ) MO (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) MO (Fxy ) MO (Fx ) MO (Fy ) Fy x Fx y
第三章 空间力系
✓ 空间力系的简化 ✓ 空间力系的平衡
§3–1 空间汇交力系
空间汇交力系:
空间力系中各力作用线汇交于一点。
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
✓ 合力偶矩矢的大小和方向余弦：
Mx Mix , My Miy , Mz Miz
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x cos M y cos M z
M
M
M
✓ 空间力偶系平衡的充要条件：合力偶矩矢等于零，即
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
FRx Fx
FRy Fy
FRz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点。
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力. 解： 各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
实例
空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个 空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效 (大小、方位和指向均相同)。
三.力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
M M1 M2 Mn Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
例3-4
已知： F,l, a,
F
求： M x F , M y F , M z F
解： 把力 F分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
一.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
M F, F M rBA F
✓ 空间力偶的三要素：
（1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方位：与力偶作用面相垂直； （3） 指向：与力偶转向服从右手
螺旋法则。
M rBA F rAB F
二.力偶的等效定理
解： 画受力图，列平衡方程
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk ) (yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MO (F )x yFz zFy MO (F ) y zFx xFz MO (F )z xFy yFx
✓ 空间汇交力系平衡的充分必要条件是：
该力系的合力等于零，即 FR 0
空间汇交力系 的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各 力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。
例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
Fz 0 FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
§3–2 力对点的矩和力对轴的矩
一.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
✓ 三要素：
(1）大小：力大小与力臂乘积 （2）转向：力绕矩心转动方向 （3）方位：力矩作用面的方位
MO(F) r F
力矩矢的方位和力矩作用面的法线方向相同， 力矩矢的指向可用右手螺旋法则确定。
例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直 于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力.
——空间力偶系的平衡方程.
例3-5已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受 切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶的矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
将空间力偶用力 偶矩矢表示，平 行移到点A.
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M 4 cos 45 M5 cos 45 193.1N m
例3-1 已知： Fn , ,
求：力 F在n 三个坐标轴上的投影.
解： Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin
Fy Fxy cos Fn cos cos
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
✓ 空间汇交力系的合力: FR Fi
✓ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ合矢量（力）投影定理
二.力对轴的矩（代数量）
度量力对绕定轴转动刚体的作用效果。
Mz (F) MO(Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力 对该轴的矩为零。
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) MO (Fyz ) MO (Fy ) MO (Fz ) Fz y Fy z M y (F) MO (Fxz ) MO (Fx ) MO (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) MO (Fxy ) MO (Fx ) MO (Fy ) Fy x Fx y
第三章 空间力系
✓ 空间力系的简化 ✓ 空间力系的平衡
§3–1 空间汇交力系
空间汇交力系:
空间力系中各力作用线汇交于一点。
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
✓ 合力偶矩矢的大小和方向余弦：
Mx Mix , My Miy , Mz Miz
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
cos M x cos M y cos M z
M
M
M
✓ 空间力偶系平衡的充要条件：合力偶矩矢等于零，即
M 0
Mx 0 My 0 Mz 0
FRx Fx
FRy Fy
FRz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
方向余弦
cos( FR
,i )
Fx FR
cos( FR
,
j)
Fy FR
cos( FR
,
k)
Fz FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点。
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力. 解： 各杆均为二力杆，取球铰O，
画受力图。
Fx 0 FOB sin 45 FOC sin 45 0
Fy 0
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
实例
空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个 空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效 (大小、方位和指向均相同)。
三.力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2,......, Mn rn Fn
M M1 M2 Mn Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。