Gauss消元法解解线性方程组

摘要

本文叙述了Gauss 顺序消元法解线性方程的算法思想以及其求解过程，同时简要叙述了Gauss 主元素消元法以及Gauss 全主元消元法。紧接着给出了

Gauss Seidel -迭代法的算法思想，本文给出了这三个消元方法以及一个迭代法的算法流程图，由于全主元消元法是前两个算法的基础上改进而来，故本文采用第三种方法进行编程计算，前两种方法不再重复编程，然后给出一个实例的计算结果，运行时间，在文章最后分析该实例的计算结果，针对同一实例，又采用

Gauss Seidel -方法编程实现，然后对结果进行分析和对比。最后给出了本人在编程时遇到的一些问题和解决办法。

关键词：Gauss 顺序消元法 Gauss 主元素消元法 Gauss 全主元消元法

一、算法的简要描述

1.1Gauss 顺序消元法

Gauss 消元法在中学里已经学习过，其方法实质，就是运用初等变换，将线性方程组Ax b =转化为同解的上三角矩阵方程组

1Ux L b -=

（1.1.1）

其中，U 为上三角矩阵，L 为下三角矩阵。然后对式（1.1.1）进行回代求解，即得方程组的解。手算的过程是非常清楚的，现在需回答的是计算机求解，如何实现上述计算过程。

设线性方程组为

1111221331121122223322

112233n n n n n n n nn n n

a x a x a x a x

b a x a x a x a x b a x a x a x a x b +++⋅⋅⋅+=⎧⎪+++⋅⋅⋅+=⎪⎨

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪

⎪+++⋅⋅⋅+=⎩ 写成矩阵形式为

1112111212222221222m m m n n a a a x b a

a a x

b a a a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（1.1.2）

设线性方程组如上式所示，记(1)A A =，(1)b b =，与是增广矩阵具有形式

(1)

(1)[][]A b A b =，此时方程组为(1)(1)A x b =。

第一次消元。设(1)

110a ≠，为将第二个方程至第n 个方程的1x 系数(1)1i a 消成零，

构造乘数

(1)1

1(1)11

i i a l a = (2,3,,)i n =

用1i l -乘以矩阵(1)[A

b ]（1）

的第一行加到第i 行上(2,3,,)i n =得

(1)(1)

(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)(2)222322

(2)(2)

(2)(2)23

[A

b ]0

n n

n n nn

n a a a a b a a a b a a a b ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2）

其中，

(2)(1)

(1)11(2)(1)(1)11

a a (,2,3,,)

(,2,3,,)

ij ij i j i i i l a i j n b b l b i j n ⎧=-=⎨=-=⎩

假设经过1k -次消元得同解方程组()()k k A x b =，此时

(1)(1)

(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)k ()22

23

22

()()()()()n

k n

k k kn k k k k nk

nn

n a a a a b a a a b A b a b a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣

⎦⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

（） (1.1.3) 假若()

0k kk

a ≠，则第k 次消元如下：构造乘数 ()

()

(1,,)k ik

ik k kk

a l i k n a ==+

用ik l -乘以矩阵()

()k k A b ⎡⎤⎣

⎦第k 行加到第i 行上(1,

,)i k n =+得同解方程

组(1)(1)k k A x b ++=，其中，(1)(1)[]k k A b ++中的元素计算公式为

(1)()()(1)

()()a a (,2,3,,)

(,2,3,,)

k k k ij ij ik kj k k k i

i ik k l a i j n b b l b i j n ++⎧=-=⎨=-=⎩

如此进行1n -次消元，即1,2,,1k n =-，最后得同解方程组

()()n n A x b =

其中，

(1)

(1)

(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)()()k ()22

23

22

()()n

n n k n

n n nn

n a a a a b a a a b A x b A b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣

⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

（）

假若()

0n nn

a ≠，对式（3.1.3）进行回代计算得方程组的解

()

()()()1/()/(1,2,1)

n n n nn n i i i i i ij j ii

j i x b a x b a x a i n =+⎧=⎪⎨=-=-⎪⎩

∑

上述全过程称为Gauss 顺序消元法。

1.2Gauss 主元素消元法

Gauss 顺序消元法每一步总有一个要求()

0k kk

a ≠，否则算法就失败。然而从方程组的理论，只要det()0A ≠，则方程组解存在且唯一。由此可知，Gauss 顺序

消元法可执行条件苛刻。不仅如此，从数值计算角度，当()0k kk a ≠，但()

k kk a 很小时。用()

k kk a 做分母运算，会引起误差界的放大，数值不稳定现象产生，严重时导

致解失真。为克服这一缺点，常采用选主元的消元法。

Gauss 列主元消元法主要依据线性方程组任意交换两个方程的次序，方程组的同解性不变，且解的分量次序也不变。于是，第k 步在顺序消元法进行之前，

从()k A 的第k 列元素()k kk a ，()

1k k k a +，

，()

k nk a 中选取绝对值最大者，并记录所在行，

即

()()

max k k k i k ik

k i n

a a ≤≤=，记k l i = 如果l k ≠，则交换矩阵()

()k k A b ⎡⎤⎣⎦的第k 行与第l 行所有对应的元素，然后，再

进行第k 步顺序消元法。

1.3Gauss 全主元消元法

Gauss 全主元消元法是在Gauss 列主元消元法的基础上进一步改进，目的是更好的提高数值稳定性和解的精度。对那些矩阵性态不太理想的方程组能给出最大可能性的满意解。

全主元算法的第k 步是从()

(,1,

,)k ij a i k k n =+中选取绝对值最大者作为主元，

并记录主元所在列与所在行，即

()()

,max k k k k i j ij k i j n

a a ≤≤=，记,k k l i t j ==

如果l k ≠，则交换矩阵()

()k k A b ⎡⎤⎣⎦的第k 行与第l 行所有对应的元素；

如果t k ≠，则交换矩阵()()k k A b ⎡⎤⎣

⎦的第k 行与第t 列所有对应的元素。值得注意的是，进行

行元素的交换，解的分量次序不变，但是进行列元素交换时，解的分量次序将有所改变。

1.4 Gauss Seidel -迭代法

将方程组Ax b =改写成等价方程组