角动量及其守恒定律

分析：对转动系统而言，转动惯量发生变化，对竖直 =====轴无外力矩，∴角动量守恒。
解：在时间0 10s内落至台面的沙粒的质量为
10 s
10 s
m 0 Qdt 0 2tdt 100 g 0 10kg
则t 系= 1统0s角时动，量转守台恒的，角有速度J0ω0=（ JJ0+0Jm0rm20）r 2（ω下0一页8）s1
定轴做圆周运动角动量为：
Li rimivi ri2mi
所以整个刚体绕此轴的角动量为：
L Li ( miri2 ) J
i
i
2转、动刚定体律定轴M转动J的角J动d量定理M dL d(J)
dt
dt dt
t
L
Mdt
t0
L0
dL
L
L0
Mdt dL
冲量矩（角冲量） 单位： 牛顿·米·秒
总角动量守恒吗?----若守恒, 其方程应如何写?
v0
mv
mv0l
m
v0 4
l
J
例.一转台绕其中心的竖直轴以角速度0 = s-1转动， 转台对转轴的转动惯量为J0=4·0×10-3 kg·m2。今有 沙粒以Q=2t g·s-1的流量竖直落至转台，并粘附于台 面形成一圆环，若环的半径为r=0·10m，求沙粒下落 t=10s时，转台的角速度。
L mR2
代入（3）式 得
(2g
sin
)1 2
R
(4）
FN
和重力
P
的作用。
支持力 FN 指向环心O , 对点O 的力矩为零,
P
故小球所受的力矩仅为重力矩, 其大小为 M mgRcos
小球从 A 向 B 滑动的过程中,
方向垂直纸面向里. 角
动量 L 的大小是随时间变化的，但其方向总是垂直纸面向里.
mgRcos dL 则 dL mgRcosdt (1)
dr
m r sina
dt
开普勒第二定律
2m
1 2
drr sina
2m
ds
dt
dt
行星受力方向与矢径在一条
dS：矢径在dt 时间
直线（有心力），故角动量守恒。====扫过的面积
刚体的角动量 角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
Z
rimivi
质点L对点r的角p动量r为m：v
刚体上的一个质元△mi ,绕固
（下一页）
质点的角动量及其守恒定律
1、质点的角动量
（这是个新的概念） 质量为m的质点做圆周
运动时对圆心的角动量 L
p 900
O r •m
L 质点的动量 p 和
矢径 r 不互相垂直
O
d
r
900
•
m
p
L pd pr sin mvr sin
L pr mvr mr 2 =Jω
mr 2 sin
取 mr2 J 叫转动惯量
用叉积定义 角动量
L
r
p
r
mv
v
m
a
r
L
p
r
角动量大小:
方向用右手螺旋法规定
角动量方向
L mv d 也可叫动量矩
2、力对定点的力矩 M
o
质点的角动量定理
r
F
d
力对定点的力矩：
M
Hale Waihona Puke Baidu
r
F
大小： M Fd Fr sin
方向：用右手螺旋法规定
* 应用微分公式
d
又 d
dt 及 L mRv mR2
dt
有 dt mR2 d (2)
L
将式（2）代入式（1），得 LdL m2gR3 cosd
由题设初始条件，有 t = O 时 ，0 0, L0 0. 故上式积分为
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
即
L
mgR
3 2
(2
g
sin
)
1 2
(3)
由
例1 如图所示,一半径为 R 的光滑圆环置
于竖直平面内. 有一质量为m 的小球穿在 圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始静 止于圆环上的点A（该点在通过环心O 的 水平面上），然后从点A开始下滑。设小
球与圆环间的摩擦略去不计。求小球滑
R
o
A
FN
到点B
时对环心的角动量和角速度。
B
解:
小球受支持力
实例很多：舞蹈、跳水、花样滑冰等等……
加速旋转时，团身、收拢四肢，减小J ；
旋转停止时，舒展身体、伸展四肢，增大J 。
角动量守恒定律也适用于微观、高速领域。
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度
射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损
失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长
为l ,质量为M.
M = 0的原因，可能 F＝0；r = 0; F∥r ；
====在定轴转动中还有 M ≠0，但力与轴平行，即
Mz= 0 ,对定轴转动没有作用，则刚体对此轴的角动
量依然守恒。
应用角动量守恒定律的两种情况：
1、转当动M惯量保0时持不，变J的单 个J刚0体,则。 0
2、转动惯量可变的物体或物体系。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变
解: 以 f 代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
f
dt
m(v
v0
)
3 4
mv0
子弹对棒的反作用力对棒的冲
M
量矩为： f 'ldt l f 'dt J
因 f ' ，f 由两式得
v0
mv
3mv0l 9mv0 这里J 1 Ml2
4J 4Ml
3
请问:子弹和棒的总动量守恒吗?
为什么?
M
不守恒——上端有水平阻力
上节回顾
●刚体 形状和大小都不发生变化的物体。 这是一种理想化了的模型。 如 果物体的形状和大小变化甚微， 以至可以忽略不计，这种物体也 可以近似地看作是刚体。
●刚体绕定轴的转动惯量 J =∑（△mi）ri2 ri 是质元△mi 到转轴的距离。
●力矩 M = r ×F
●刚体绕定轴的转动定律 M = J
(A B)
A
dB
dA
B
dL
r
dt
dp dr
p
r
dt
F
dt
v
p
dt
r
dt F
dt M
方向相同，叉乘为零
所以得
角动量定律
M
dL
dt
也可写成
Mdt dL
称为冲量矩
质点的角动量守恒定律
由
角动量定律 M
L
v a r
r m
L
dL 若 dt
mvrsina
M 0 L 常矢量
表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
J不变时，t Mdt t0
L
J
J0
J 改变时 L J J00
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
在M
dL 中，若M
0
则L
dt 常矢量，即
L
（ 0 J
C）
当物体所受的合外力矩为零时，物体的角动量
保持不变。——角动量守恒定律 角动量守恒的条件