双曲线性质之渐近线

2017/1/19
类比归纳
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
B
1
y
y 2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图象
P(a,b )
A2
y
A1
P(b,a )
B2x
A1
o B2
x
B
1
o
A2
渐近线
b y x a
a y x b
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y b
作法：过双曲线实轴的两个 端点与虚轴的两个端点分别 作对称轴的平行线，它们围 成一个矩形，矩形的两条对 角线所在的直线即为双曲线 的渐近线
B2
A1
o
A2
a
x
B1
b y x a
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b y- x a
3、渐近线方程的求法： 1）定焦点位置，求出 a、b，由两点式 求出方程
（
y
b
-a
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变式练习： 1、（2012 湖南高考） 已知双曲线C 的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， 则C的方程为（ ）
x2 y2 A．202 52 1 x2 y2 2 1 2 ： a b
B.
x2 y2 1 2 2 5 20 x2 y2 2 1 2 20 80
主备：丁文华 集备：李银珍 罗映波 陈树兴 授课班级：高144班
学习目标 1、知识与技能： 1）、正确理解双曲线的渐近线的定义，能利 用双曲线的渐近线来画双曲线的图形． 2）、掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求 双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析 问题和解决问题的能力． 2、过程与方法： 通过双曲线的渐近线相关知识学习，使学生能 正确理解双曲线的渐近线的定义，并能利用双曲线 的渐近线来画双曲线的图形；掌握由双曲线求其渐 近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应 用。 2017/1/19
2x±3y=0
5x±2y=0
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探究二：由渐近线求双曲线方程 2 2
x y 例2、求与双曲线 9 16 1 有共同的渐近线，且
经过点M（-3, 2 3 ）的双曲线方程。
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探究二：由渐近线求双曲线方程
例2、求与双曲线 过点M（-3, 2 3 ）的双曲线方程。
x2 y2 1 9 16 有共同的渐近线，且经
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例3．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并 且双曲线过点M (4, 3 ) 求双曲线方程。
解： 渐近线方程可化为 设双曲线方程为
2
x y 0 2
，
x y 2 ( 0) 4
∵点 M (4, 3) 在双曲线上 42 2 （ 3 ） ，得 1 ，双 ∴ 4 2 x 曲线方程为 y2 1 。
y＝
b x a
结论：
x y x y 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
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2
2
2
2
小结： 由双曲线方程求渐近线方程的方法： (1) 定焦点位置，求出 a、b，由两点式求出方程 (2) 令双曲线方程的常数项为零即可求出方程
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x2 y2 C的方程为 202 52 1 .
2．已知双曲线的渐近线是x±2y=0 ，并且 双曲线过点 M (4, 5 ) 求双曲线方程。
解： 渐近线方程可化为 设双曲线方程为
2
x y 0 2
，
x y 2 ( 0) 4
∵点 M (4, 5 ) 在双曲线上 42 2 （ 5 ） ，得 -1，双 ∴ 4 2 x 曲线方程为 y 2 1 。
o
-b
P(a,b )
a
x
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能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？
(2) 令双曲线方程的常数项为零即可求出方程
双曲线方程
x2 y2 2 0 2 a b
x2 y 2 2 1 (a 0,b 0 ) 中，把1改为0，得 2 a b
x y x y ( )( ) 0 a b a b x y x y 0或 0. a b a b
若渐近线方程为 mx ±ny = 0，则双曲线方程 2 x 2 －n 2 y 2 = k ( k ≠ 0 ) m 整式 为 ____________________________
x2 y 2 2 k (k 0) 2 n m 或 ____________________________
渐近线理解：渐近线是双曲线所特有 的性质。“渐近”两字的含义，当双 曲线的各支向外延伸时，与这两条直 线逐渐接近，接近的程度是无限的。 也可以这样理解：当双曲线上的动点N 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时， 点N到这条直线的距离逐渐变小而无限 趋近于0。
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C.
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x2 y2 1 2 2 80 20
D.
x y 的半焦 解：设双曲线C ： 2 2 1 a b
2
2
距为c，则2c=10,c=5. 又 C 的渐近线为
b y x ，点P （2,1） a
在C 的渐近上，
2 2 2
b 1 2 a
,即a=2b.
a 2 5, b 5 c a b ， 又，
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小结：
知识要点：
x2 y2 b 1. 2 2 1的渐近线Biblioteka Baiduy＝ x. a b a y 2 x2 a 2. 2 2 1的渐近线是y＝ x. a b b
技法要点：
x2 y 2 x2 y 2 双曲线 2 2 ( 0) 渐近线方程 2 2 0. a b a b
标准
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互动探究
探究一：由双曲线求渐近线方程
y 例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：
x2 y2 1). 1 9 4
x2 y2 2). 1 9 4
2 y x 3
2 y x 3
0
x
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变式练习：求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x2－9y2=36, (2)25x2－4y2=100.
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Thank You!
问题引导，自我探究
1、焦点在x轴的双曲线渐近线方程为
b x ____________________________ a y
焦点在y轴的双曲线渐近线方程为
a y x b ____________________________
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2、渐近线的画法
双曲线
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 的渐近线 a b