等比数列前n项和公式的推导和运算

Sn 1 2
8 1 1 2 255 1 256 1 2
1 1 27 q 8 ( 2) 由a1 27, a9 , 可得 : 243 243
又由q 0, 可得：
q
Sn
于是当n 8时
8 1 271 3 1640 1 81 1 ( ) 3
即
2 64q 1 q
①
若a1 2, a n 64, 则s n 126 , 即q 2
a1 an q 1 q
126
又 an a1q n 1 , 64 2 2 n 1 , n 6
②
若a1 64, an 2, 则同理可得 q
1 2
,n 6



① ②

两式相比得： q n 9 q n 8 1 a ① 得： 1 2 代入 1q
s3n
a1 1q
1 q
3
a1 1q
1 q n 3 2 1 83 1022



a1•qn-1•q
anq
1-q
(q=1) (q=1)
n· 1
去看看练习吧!
通项公式:
an=a1• q n-1
例1、求下列等比数列前8项的和
1 1 1 1 , , , (2)a1 27, a9 ,q 0 2 4 8 243 1 1 (1 所以当n 8时 解： ) 因为 a1 2 , q 2 (1)
1 3
中，求满足下列条件的 : 例2、在等比数列 a n 量
(1)a1 a3 2, 求sn
1 (2)q 2, n 5, a1 .求an 和sn 2 (3)a1 1,a n 512 s n 314.求q和n ,
a a q (1将a a 1 a 1 ,1 解： ) q 1 ,,n3 ,2 512 S 341 2 2 an 5 a (3) 代入S n 11 qn 可得 1 2n 2 q 2 1 q 1 即 a1 1 q n n 说明：１.1a1q1 , s)q 意q的取值，应把它 代入an 在利用公式，一定要注 得： ( 512n 1 .解得：q ，所以 q 当q341 作为第一要素来考虑。 2 S n na1 2n 时，数列为常数列 12， 2， 2， 1 q 4 1 4 a5 a1q 2 8 2 (a1 , n 2[ , ( 1 在五个变量1 q q , an1 1) n ] (2) n 1 n ２. a q n 1 ,a所以), n512S n中，只知三可求二， 因为an时，1S 1 当 q 1 1( 1) 1 (1) n 1 1 q 5 选择适当的公式。 并且要根据具体题意， 解得：n1 2 10 1 31 5 2 s5 2 1 1 2 2 2
1、求等比数列 , x, x 2 , x 3 ,的前n项和sn ? 1
解：由已知条件得， 1 1, q x a
当 x 1 时， S n
当x
1(1 x n ) 1 x

1 x n 1 x
1 时，S n na1 n
( x 1) ( x 1)
1 x n 1 x 所以S n n
由公式得： 30000
整理得 .1n 1.6 1
5000(11.1n ) 11.1
两边取对数，得 lg1.1 lg1.6, n
用计算器算得 n
lg1.1 lg1.6

0.2 0.041
5
答：从今年起，大约 年可使总销售量达到 5 30000 台。
等比数列前n项和公式 你了解多少？
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
(2) 通项公式: (3) 重要性质:
m+n=p+q
an+1 an =q (定值) an=a1•q n-1
an= am•qn-m an•am = ap•aq
这两个重要性质的 变化.应用可大哩! 你掌握了吗?
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
一、导入新课：
１，２，２２，２３，…，２６３
二、新课讲解
即
S 1 2 2 2 2 ，
2 3 63
①
64
2S
2 2 2 2
2 3
ห้องสมุดไป่ตู้
63
2
②
②－①得 2S S 264 1,
即 S 2 64 1.
由此对于一般的等比数列，其前 n 项和
S n a1 a1q a1q 2 a1q n 1 ，如何化简？
(1) 等比数列前n项和公式： 利用“错位相减法”推 na1 (q=1) 导 na1 (q=1) Sn= Sn= n
{
a1 (1 q ) (q=1)
1-q
{
a1 an q
1-q
(q=1)
(2) 等比数列前n项和公式的应用： 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提； ２.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。
国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说。 国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者 说：“请在棋盘的第一个格子里放上１粒麦子，在第２个 格子里放上２粒麦子，在第３个格子里放上４粒麦子，在 第４个格子里放上８粒麦子，依此类推，每个格子里放的 麦子数都是前一个格子里放的麦子数的２倍，直到第６４ 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国 王有能力满足发明者上述要求吗？ 由于每个格子里的麦子数都是前一个格子里的麦子数的２倍， 且共有６４个格子，所以各个格子里的麦粒数依次是：
(1-q)Sn=
Sn=
{
a -a q a 1-q )
1 1
1（
n n
1-q
(q=1)
n· 1 a
(q=1)
通项公式:
an=a1• q n-1
等比数列前n项求和公式 等比数列 {an} n a 1 (1 - q )
Sn= Sn=
{a a aq {a
1-q
(q=1) (q=1)
n· 1
n
1-
a1q n
综上所述, n 6, q 1 或2 2
的前n项和为sn , 若sn 14, (2)设等比数列 an s2n 126, 求s3n
解：若q 1, 则sn na1 14, s2n 2na1 126
矛盾 q 1 s a1 1 q n 14 n 1 q a 2n 126 s2n 11q 1 q
等比数列前n项求和公式
推导公式 已知： n 等比数列 { n}， 1，q，
a a
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + 作 减 法
q n=a1q
s
a1q2 +a1q3 +…+ a1q n-1 + a1qn +






例3： 某商场今年销售计算机 5000 台，如果平均每年的销 售量
比上一年的销售量增加 %，那么从今年起，大约 10 几年 可使总销售量达到 30000 台（结果保留到个位） ？
分析：本例相当于在等 比数列an ，求满足S n 30000 n值。 的
，每年的销售量成等比 数列 解： 由题意可知，从今年起 a1 5000 q (1 10%) 1.1, S n 30000 ,
2、某家电厂去年的销售 量是a万台，计划在以后 内 10 每一年比上一年增加 %，问从今年起 年内该家电 10 10 厂的销售总量是多少万 ? 台
解：由题意得，从今年 起，每年家电厂的销售 总量组成等比数列。
a1 a(1 10%) 1.1a，q 1 10% 1.1，n 10
a1 an 66 a1 an 66 1 解： a2 an 1 128 a1an 128
2
a1 2 a1 64 a1 , an是方程x 66x 128 0的两根 解得： 或 an 64 an 2
a1 a n , q 1
所以 S10
1.1a(11.110 ) 11.1
1.1a (1.110 1)
答：从今年起 年内该家电厂的销售总 10 量是1.1a(1.110 1)万台.
中，a1 an 66, a2 an1 128, 3、 )在等比数列 an (1 sn 126, 求n、q
1、求等比数列 , x, x 2 , x 3 ,的前n项和sn . 1
2、某家电厂去年的销售 量是a万台，计划在以后 内 10 每一年比上一年增加 %，问从今年起 年内该家电 10 10 厂的销售总量是多少万 台
中，a1 an 66, a2 an1 128, 3、)在等比数列 an (1 sn 126, 求n、q 的前n项和为sn , 若sn 14, (2)设等比数列 an s2n 126, 求s3n