高二数学人教A版必修3导学案：1.3.1

§1.3 算法案例(1)

课前预习案

教材助读：

阅读教材34-37页，找出疑惑处。

课内探究案

一、新课导学

1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，

则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.

2. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较

小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原

来两个数的最大公约数.

二、合作探究

探究（一）:辗转相除法

思考1:18与30的最大公约数是多少？你是怎样得到的？

思考2:对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数

就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？

思考3:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？

思考4:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步

骤如何设计？

第一步，给定两个正整数m，n(m>n).

第二步，

第三步，

第四步，

思考5:该算法的程序框图如何表示？

思考6:该程序框图对应的程序如何表述？

思考7:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？

探究（二）:更相减损术

思考1:设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？

思考2:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两

个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？

第一步，给定两个正整数m，n(m>n).

第二步，

第三步，

第四步，

思考3:该算法的程序框图如何表示？

思考4:该程序框图对应的程序如何表述？

探究（三）:辗转相除法与更相减损术的区别

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以

为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次

数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以相等而得到

三、当堂检测

例1 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.

辗转相除法：

更相减损术:

例2 求325，130，270三个数的最大公约数.

四、课后反思

课后训练案

1、在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：（16，12）→（4，12）→（4，8）→（4，

4），由此可以看出12和16的最大公约数是（）

A. 4

B. 12

C. 16

D. 8

2、下列各组关于最大公约数的说法中不正确的是（）

A.16和12的最大公约数是 4

B.78和36的最大公约数是 6

C.85和357的最大公约数是34

D.105和315的最大公约数是105

3、算法

Ｓ１输入，ｘ，ｙ

Ｓ２ｍ＝ｍａｘ{ｘ，ｙ}

Ｓ３ｎ＝ｍｉｎ{ｘ，ｙ}

Ｓ４若ｍ／ｎ＝[ｍ／ｎ]（[ｘ]表示ｘ的整数部分）

则输出ｎ，否则执行Ｓ５

Ｓ５ｒ＝ｍ－[ｍ／ｎ]＊ｎ

Ｓ６ｍ＝ｎ

Ｓ７ｎ＝ｒ

Ｓ８执行Ｓ４

Ｓ９输出ｎ上述算法的含义是。

4、用辗转相除法求840与1785的最大公约数.

5、用更相减损术求612与468的最大公约数

6、分析算法，编出程序，求两个整数ｘ（ｘ≥０）和ｙ（ｙ＞０）的整数商和余数（规定只

能用加法和减法运算）。