第1课时 实数的概念及分类

6.2 实数
第1课时 实数的概念及分类
【教学目标】
1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.
2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.
【教学重点】
无理数、实数的概念.
【教学难点】
无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解. 教学过程
一、组织教学，复习提问
1.有理数是怎样分类的？
有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数负整数零分类⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数或有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩
⎪⎨⎪⎧负整数负分数
2.把下列各数填在相应的括号里.
－2，－34，－2.5，0，0.3·，1，43，227，34，12，－0.81··
整数：{ }
分数：{ }
归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的
形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.
多媒体课件展示图1和图2及思考题：
图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？
二、创设情境，引入新课
1.创设情境.
问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？
(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？
师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题.
生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.
生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面
积为2的格点正方形.
师：为什么？
生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形.图1中有6个面积为2的格点正方形.
生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连
线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.
师：为什么？
生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的
连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一
个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次
围成的正方形是面积为5的格点正方形.
生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点正方形是面积为5的格点正方形.
生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.
问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？
(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？
师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题2.
生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.
生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝ 2.
(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝ 5.
2.引入新课.
问题3：2、5是怎样的数？
师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然后回答问题3.2、5存在吗？2、5又是怎样的一个数？
生：2、5分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存在的.
师：下面我们来共同探究2是怎样的一个数.首先，请同学们想一想，2介于哪两个整数之间？
生：因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.这说明2不能是整数.
师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？
生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以 1.96＜2＜ 2.25，即1.4＜2＜1.5.
师：这又有什么意义？
生：2是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.
师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么2
是其中的哪个小数呢？如何确定？
生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以 1.988 1＜2＜ 2.016 4，即1.41＜2＜1.42.
师：这又有什么意义？
生：2是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.
师：类似地，可得1.414＜2＜1.415，……像上面这样逐步逼近，我们可以得到：
2＝1.414 213 5…
它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.
因此，2是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样5也是一个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样的方法去探究.
3.无理数的概念
师：有理数包括哪些数？
生：有理数包括整数和分数.
师：整数和分数可以统一写成什么形式？
生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一写成分数的形式.
师：这就是说，有理数总可以写成n
m(m、n是正整数，且m≠0)的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？
生：3＝31＝3.0，12＝0.5，13＝0.3·，911＝0.81··.分数都可以化为有限
小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数. 师：2＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？ 生：2不是无限循环小数，不是有理数，2是无限不循环小数. 师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.因此，2是无理数.
此外，
3＝1.732050808…，33＝1.44224957…，π＝
3.14159265…
这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循
环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.
师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？
生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.
生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开
方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数.
师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如2、3、π是正无理数，－2、－3、－π是负无理数.
4.实数的概念.
师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又
扩大了.
5.实数的分类.
师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)
实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数
三、例题分析
1.教师出示课本第12页练习题.
师：π、64、－38都是无理数吗？
生：π是无理数，64＝8、－38＝－2都是有理数.
师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.
师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？
生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数.
师：0.213··
如何写成分数的形式？
生：0.213··＝213－2990＝211990. 2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)
师：实数还可以如何分类？为什么？
生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、负实数和零.
师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？
生：不对，将0遗漏了.
师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.
3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如2呢？
用多媒体展示：
师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？
生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是2，也就是点A表示的数是 2.
生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所以A′点表示的数是－ 2.
师：通过以上演示，同学们发现了什么？
生：无理数2、－2都能用数轴上的点来表示.
师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以实数和数轴上的点一一对应.
四、提升练习
问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？
师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？
生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.
生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.
生3：点A′表示的数是π.
师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.
五、课堂小结
1.无理数与有理数的区别是什么？
2.实数可以怎样分类？
3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？
学生回答，教师评价.。