不动点与稳定点
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2 2 2
定有两解 x
1 ,1 ，由此因式分解，可得 ( x 1)(2 x 1)(4 x 2 2 x 1) 0 2 1 5 1 1 5 2 ，故函数 y 2 x 1 的稳定点有 ,1 ， 4 2 4
还有另外两解 x
其中
1 5 是稳定点，但不是不动点。 4
【2013 年• 四川卷 （理科）第 10 题】 设函数 f ( x)
e x x a （ a R ， e 为自然对数的底数） . 若曲线 y sin x 上存在点
） D. [e
1
( x0 , y 0 ) 使 f ( f ( y 0 )) y 0 成立，则 a 的取值范围是（
例如 2：
稳定点：已知函数 y f ( x) ， x I ，若存在 x0 I ，使得 f ( f ( x0 )) x0 ，则称 x0 为
函数 y f ( x) 的稳定点。 很显然，若 x0 为函数 y f ( x) 的不动点，则 x0 必为函数 y f ( x) 的稳定点。 证明是非常简单的！因为 f ( x 0 ) x 0 ，所以 f ( f ( x 0 )) f ( x 0 ) x 0 ， 即 f ( f ( x 0 )) x 0 ，故 x0 也是函数 y f ( x) 的稳定点。 反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！ 例如 3：设 f ( x) 2 x 1 ，令 2( 2 x 1) 1 x ，解得 x 1 故函数 y 2 x 1 有一个稳定点 x 0 1 例如 4： f ( x) 2 x 1 ，令 2( 2 x 1) 1 x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一
若函数 y f ( x) 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明：若函数 y f ( x) 有不动点 x 0 ，显然它也有稳定点 x 0 ； 若函数 y f ( x) 有稳定点 x 0 ，即 f ( f ( x 0 )) x 0 ，设 f ( x 0 ) y 0 ，则 f ( y 0 ) x 0 即 ( x 0 , y 0 ) 和 ( y 0 , x 0 ) 都在函数 y f ( x) 的图象上， 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 故 x 0 y 0 ，即 f ( x 0 ) x 0 ， y f ( x) 有不动点 x 0 .
C. [e, e 1]
e x x a ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在 b [0,1] 使 f ( f (b)) b ，即有稳定点 b ， 所以它必有不动点 b [0,1] ，使得 f (b) b
即 f ( x)
e x x a x 在 x [0,1] 有解, x 2 整理可得， a e x x ，在 x [0,1] 有解 x 2 令 g ( x) e x x ， x [0,1] x ∵ g ( x) e 1 2 x 1 1 2 0 ，∴ g ( x) 在 x [0,1] 单调递增 g (0) 1 ， g (1) e ， a [1, e] ，故选择 A.
当然，这个方程组根据函数 y f ( x) 的不同，可能有多解。
例如 1：
y 2x 1 的解只有一个 (1,1) ，故函数 y 2 x 1 有一个不动点 x 0 1 y x y 2x 2 1 1 1 1 2 的解为 ( , ) ， (1,1) ，故函数 y 2 x 1 有两个不动点 ,1 2 2 2 y x
请看下面四个图形，分别对应例 1、2、3、4.
y
y 2x 1 yx
y
y 2x 2 1 yx
x
图-1 图-2
x
y
y 2x Fra Baidu bibliotek y 1 1 x 2 2 x
y
y 2x 2 1 yx x y x 1 2
yx
图-3
图-4
由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线 y x 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与 它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标. 根据例 1 和例 3，我们可以给出命题：
A. [1, e] 解析: f ( x) B. [e
1
1,1]
C. [1, e 1]
1, e 1]
e x x a ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在 y 0 [ 1,1] 使 f ( f ( y 0 )) y 0 ，即有稳定点 y 0 ， 所以它必有不动点 y 0 [ 1,1] ，使得 f ( y 0 ) y 0
【2013 年• 四川卷 （文科）第 10 题】 1. 设 函 数 f ( x)
e x x a （ a R ， e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） . 若 存 在 b [0,1] 使
） D. [0,1]
f ( f (b)) b 成立，则 a 的取值范围是（
A. [1, e] 解析: f ( x) B. [1, e 1]
即 f ( x)
e x x a x 在 x [1,1] 有解，显然 x [ 1,0) 是无解的. x 2 整理可得， a e x x ，在 x [0,1] 有解 x 2 令 g ( x) e x x ， x [0,1] x ∵ g ( x) e 1 2 x 1 1 2 0 ，∴ g ( x) 在 x [0,1] 单调递增 g (0) 1 ， g (1) e ， a [1, e] ，故选择 A.
高考数学试题研究
不动点：已知函数 y f ( x) ， x I ，若存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) x0 ，则称 x0 为函数
y f ( x) 的不动点。
不动点实际上是方程组
y f ( x) 的解 ( x 0 , y 0 ) 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 y x
定有两解 x
1 ,1 ，由此因式分解，可得 ( x 1)(2 x 1)(4 x 2 2 x 1) 0 2 1 5 1 1 5 2 ，故函数 y 2 x 1 的稳定点有 ,1 ， 4 2 4
还有另外两解 x
其中
1 5 是稳定点，但不是不动点。 4
【2013 年• 四川卷 （理科）第 10 题】 设函数 f ( x)
e x x a （ a R ， e 为自然对数的底数） . 若曲线 y sin x 上存在点
） D. [e
1
( x0 , y 0 ) 使 f ( f ( y 0 )) y 0 成立，则 a 的取值范围是（
例如 2：
稳定点：已知函数 y f ( x) ， x I ，若存在 x0 I ，使得 f ( f ( x0 )) x0 ，则称 x0 为
函数 y f ( x) 的稳定点。 很显然，若 x0 为函数 y f ( x) 的不动点，则 x0 必为函数 y f ( x) 的稳定点。 证明是非常简单的！因为 f ( x 0 ) x 0 ，所以 f ( f ( x 0 )) f ( x 0 ) x 0 ， 即 f ( f ( x 0 )) x 0 ，故 x0 也是函数 y f ( x) 的稳定点。 反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！ 例如 3：设 f ( x) 2 x 1 ，令 2( 2 x 1) 1 x ，解得 x 1 故函数 y 2 x 1 有一个稳定点 x 0 1 例如 4： f ( x) 2 x 1 ，令 2( 2 x 1) 1 x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一
若函数 y f ( x) 单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明：若函数 y f ( x) 有不动点 x 0 ，显然它也有稳定点 x 0 ； 若函数 y f ( x) 有稳定点 x 0 ，即 f ( f ( x 0 )) x 0 ，设 f ( x 0 ) y 0 ，则 f ( y 0 ) x 0 即 ( x 0 , y 0 ) 和 ( y 0 , x 0 ) 都在函数 y f ( x) 的图象上， 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 假设 x 0 y 0 ，因为 y f ( x) 是增函数，则 f ( x 0 ) f ( y 0 ) ，即 y 0 x 0 ，与假设矛盾； 故 x 0 y 0 ，即 f ( x 0 ) x 0 ， y f ( x) 有不动点 x 0 .
C. [e, e 1]
e x x a ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在 b [0,1] 使 f ( f (b)) b ，即有稳定点 b ， 所以它必有不动点 b [0,1] ，使得 f (b) b
即 f ( x)
e x x a x 在 x [0,1] 有解, x 2 整理可得， a e x x ，在 x [0,1] 有解 x 2 令 g ( x) e x x ， x [0,1] x ∵ g ( x) e 1 2 x 1 1 2 0 ，∴ g ( x) 在 x [0,1] 单调递增 g (0) 1 ， g (1) e ， a [1, e] ，故选择 A.
当然，这个方程组根据函数 y f ( x) 的不同，可能有多解。
例如 1：
y 2x 1 的解只有一个 (1,1) ，故函数 y 2 x 1 有一个不动点 x 0 1 y x y 2x 2 1 1 1 1 2 的解为 ( , ) ， (1,1) ，故函数 y 2 x 1 有两个不动点 ,1 2 2 2 y x
请看下面四个图形，分别对应例 1、2、3、4.
y
y 2x 1 yx
y
y 2x 2 1 yx
x
图-1 图-2
x
y
y 2x Fra Baidu bibliotek y 1 1 x 2 2 x
y
y 2x 2 1 yx x y x 1 2
yx
图-3
图-4
由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线 y x 的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与 它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标. 根据例 1 和例 3，我们可以给出命题：
A. [1, e] 解析: f ( x) B. [e
1
1,1]
C. [1, e 1]
1, e 1]
e x x a ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在 y 0 [ 1,1] 使 f ( f ( y 0 )) y 0 ，即有稳定点 y 0 ， 所以它必有不动点 y 0 [ 1,1] ，使得 f ( y 0 ) y 0
【2013 年• 四川卷 （文科）第 10 题】 1. 设 函 数 f ( x)
e x x a （ a R ， e 为 自 然 对 数 的 底 数 ） . 若 存 在 b [0,1] 使
） D. [0,1]
f ( f (b)) b 成立，则 a 的取值范围是（
A. [1, e] 解析: f ( x) B. [1, e 1]
即 f ( x)
e x x a x 在 x [1,1] 有解，显然 x [ 1,0) 是无解的. x 2 整理可得， a e x x ，在 x [0,1] 有解 x 2 令 g ( x) e x x ， x [0,1] x ∵ g ( x) e 1 2 x 1 1 2 0 ，∴ g ( x) 在 x [0,1] 单调递增 g (0) 1 ， g (1) e ， a [1, e] ，故选择 A.
高考数学试题研究
不动点：已知函数 y f ( x) ， x I ，若存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) x0 ，则称 x0 为函数
y f ( x) 的不动点。
不动点实际上是方程组
y f ( x) 的解 ( x 0 , y 0 ) 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 y x