矩阵与伴随矩阵的关系

方阵

A 与其伴随矩阵*A 的关系

摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*

A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*

A 之间的关系,例如A 与

*

A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程.

关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明

在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵

()⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==⨯nn n n n n n

n ij a a a

a a a a a a a A Λ

M M M ΛΛ

212221212111.令()

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛==⨯nn n n n n n

n ij A A A

A A A

A A A A A ΛM M M ΛΛ

2122212

12111*

,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*

A 为A 的伴随矩阵.

2．矩阵

A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明.

*AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A

A =

-,即1

*det -=AA A [1]. 证明：因为⎩⎨⎧≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn

in j i j i 若若Λ

所以*AA =A A *

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛A A A

det 000det 000det ΛM M

M ΛΛ=AI det . 当

A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得

⎪⎭⎫ ⎝⎛*det 1A A A =A A A ⎪⎭

⎫

⎝⎛*det 1=I 即

*1det 1

A A

A =

-. 证毕. ()*

T A =()T

A *.(显然)

若

A 可逆，则()*

1-A =()

1

*-A .(显然)

设A 为n 阶方阵()2≥n ，则

()

()()()⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110*

[2]. 引理1.若()2≥⨯n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+.

证明 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而()0=B r ;

若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤,因此有()()n B r A r ≤+.

证毕. 下面证明.

⑴当()1-

A 为零阵,所以

()

0*=A r .

⑵当()1-=n A r 时，0det =A ,*

AA =AI det =0.由引理1知,()A r +()n A r ≤*.因

为()1-=n A r 则()

()11*

=--≤n n A r ,知

A 至少有一个1-n 阶子式不为零.即

*A 至少有一行不全为零. 所以()

1*≥A r .因为()1*≤A r ,从而()

1*=A r . ⑶ 当()n A r =时，A 可逆，由1知，*

A

也可逆.所以()n A

r =*

.

证毕.

()

1

*

det det -=n A A .

① 当A 可逆时，1

*

det -=AA A .

所以()1

*det det det -=A A A n ()

1

det -=n A .

② 当A 不可逆时，()1-≤n A r ，0det =A .

1) 当2≥n 时

()1-

()1-=n A r ，()n A r <=1*，0det *=A .则()

0det det 1

*==-n A A

2) 当1=n 时，0det =A ,即0=A ，0det *

=A ，则()

0det det 1

*==-n A A .

证毕.

当A 可逆时,若0λ为A 的特征值,则0

det λA

是*A 的特征值.当()1-

征值为零，并是n 重的.

引理2. 设A 可逆,若0λ为A 的特征值,则0

1

λ是1

-A 的特征值.

证明:

若00=λ,则由00=-A E λ得到()01=-=-A A n

,于是0=A ,这与A 可

逆矛盾,所以00≠λ. 同时由00=-A E λ还有

()()10

1010011

110------=--=-=-=A E A E E A A E A n

n

n

λλλλλ.

因此

01

10

=--A E λ,即 0

1λ是1-A 的特征值.

引理证毕. 下面证明.