二元一次方程组教材分析

3.消元思想
初中数学教材中，有二元和三元一次方程组的内容，其中 方程组的解法占有重要地位，而“消元”是产生具体解法的 基本思想. 顺应学生的认知规律，加强数学思想方法的教学， 提高思维水平，是十分重要的.在学习这部分内容之前，学生 已学习了一元一次方程，那时要解的是含有一个未知数的一 个方程. 新问题是：如何解由含有多个未知数的多个方程组 成的方程组？遇到新问题，联想相关的老问题，这是非常自 一次方程组，方程的次数未变 （都是一次），而未知数的个 数和方程的个数都由一个变为多个. 因此，新问题比老问题 复杂.
1- x 2 y 1 - x ( x 3) 2
4.数学核心素养
学 科思想/学科素 养
数学思想
数学核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
化归思想
模型思想
方程思想
整体思想
43
数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依
据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：
2016年列方程或方程组解应用题的试 题换成了考查统计的过程试题！
如何定位二元一次方程组这章价值？
2014年北京中 考23
2015年北京 中考27
其二、类似的问题 自然产生的产生了 二元一次方程组， 显然除却解应用题 的必要性之外，二 元一次方程还有其 更广阔的应用
2016北京中考数学
21.如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 过点 A(6, 0) 的 直线 l1 与直线 l2 ：y=2x 相交于点 B(m, 4) . (1)求直线 l1 的表达式； （2）过动点 P (n, 0) 且垂直与 x 轴的直线与 l1 ， l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围。
反 比 例 函 数
其 它 函 数 知 识
分 式
分式 方程
具体教材分析
1.定位本章价值
一、从历年的与二元一次方程组 有关的北京中考试题谈起
中考说明〃方程---中考说明
A
二元一 次方 程组
B
掌握代入消元法 和加减消元法； 能解二元一次 方程组
了解二元一次方程 （组）的有关概 念
C 运用二元 一次方程 （组）的 有关内容 解决有关 问题
理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方
向，选择运算方法，设计运算程序，求得运
算结果等.
数学建模
主要是指有意识的利用数学概念、原理和方法解决实 际问题；根据具体问题，抽象出数学问题，将问题中
的数量关系、位置关系和变化规律用方程、不等式、
函数、几何图形、统计图表等进行表示，求出并检验
结果，验证来自百度文库型的合理性.
（2010年北京中考） 17. 列方程或方程组解应用题： 2009年北京市生产运营用水和居民 家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中 居民家庭用水比生产运营用水的3倍 还多0.6亿立方米，问生产运营用水和 居民家庭用水各多少亿立方米。
（2011年北京中考）18. 列方程或方程组解应用题： 京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出 行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改 为乘坐公交车。已知小王家距上班地点18千米。他 用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用 驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米， 他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间 是自驾车方式所用时间的 。小王用自驾车方式上 班平均每小时行驶多少千米？
图形的 旋转 图形的 相似
相交线 点、线、 平行线 面、体
图形与变换
数据的 三角形 收集与 四边形 整理 圆形
数据的 描述 数据的 分析 意义、 事件 列表、 树状图 计算与 估算
统计
图形的认识 图形与证明
统计与概率
概率
一次函数 分类 反比例函数
独立思考
实践活动
合作交流 获得体验
二次函数
数与代数
分类
（2）在本章的教学和学习中，不能仅着眼于具体题目的具体解题过程， 而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．数 学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识需要一 个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，还需要学生 自身的感受和理解．如果认识了消元思想，那么学生对于代入法、加 减法的具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地理解，并能 够灵活运用．从而确立方程、不等式、函数这一结构体系中重要的一 环．这种思想的逐步形成也恰恰体现了“学习数学使人聪明”．因此， 化归思想是本节课教学中所要重点突出的数学思想．
没有建立方程意识
（1）初中代数研究的中心问题是各类方程，初中代数中 的函数是初步的，它只起到一个启蒙的作用．对函数较全 面、深入的研究还有待于在高中进行.可以说，中学代数中， 初中以方程为主，高中以函数为主，但初中的教学必须为 高中进一步研究函数打好基础．二元一次方程组恰恰是联 系方程和函数的一个很好的纽带，二元方程就刻画了两个 变量之间的函数关系，而用待定系数法求函数解析式、函 数的交点等问题，又需要利用解方程组来进行计算．在近 代数学数值计算和工程应用中，求解线性方程组是重要的 课题，以消元法为首的各种消元法的程序化仍然是研究的 重点内容． 因此，学好二元一次方程组的解法，体会消元、转化思想， 是学生完善认知的必要支柱，也是本章的教学重点．
二元一次方程组教学建议
建议1、理解二元一次方程组
1.一元一次方程时：“老师，这道应用题我能用算术吗？” 二元一次方程组时： “老师，这道应用题我能用一元一次方程吗？” “老师，我发现列二元一次方程组可解的应用题原来列一元一次 方程也基本能解决，为什么还要学习二元一次方程呢？” 2.解方程是程序化知识，容易演变成重复巩固训练，解方程的教 学怎样才能体现更多的数学思维价值呢？ 3.学生学习本章的思维难点是什么？
21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京 市投放了大量公租自行车供市民使用。到2013 年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点 600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车 50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数 量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数 量的1.2倍。预计到2015年底，全市将有租赁点 多少个？
分析:这5年二元一次方程组知识在中 考试卷的考察的独立题目，其中还含 分式应用题，主要考察学生的分析问 题和解决实际问题的能力。
（2015年北京中考试题）
13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定 了中国传统数学的基本框架。它的代数成就主要包括开 放术、正负术和方程术。其中，方程术是《九章算术》 最高的数学成就。《九章算术》中记载：“今有牛五、羊 二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直 金几何？” 译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊， 值金8两。问每头牛、每只羊各值金多少两” 设每头牛值金x，每只羊各值金y两，可列方程组为 _____________．
“
解方程组过程中蕴含的化归思想，不仅在解方程组过 程中具有指导作用，更贯穿了数学学习、研究的始终； 不仅应用于数学解题，而且是一种最基本的思维策 略．在研究和解决有关问题时，如何将复杂问题转化 为简单问题，将难解的问题转化为容易求解的问题， 将未解决的问题转化为已解决的问题，正是数学课所 要教给学生的基本的思考问题的方法．
第八章 二元一次方程组
教材分析
在初中数学中的地位
教材分析 具体教学建议
二元一次方程组 在初中数学的地 位
图形与几何
统计与概率
数与代数 四大领域
实践与综合应用
初 中 数 学
图形的 轴对称
图形的 平移 证明的 方法 证明的 依据 证明的 含义 图形与坐标 平面直角 坐标系 常量变量 应用 解法 方程 概念表示 函数
“消元”是解二元一次方程组的基本思路，代入消 元和加减消元是“消元”的最基本的方法．探究 解二元一次方程组的通解通法，即把解法程序化， 也是本节应渗透的内容.
学生的认知水平有限，还不能完全理解程序化的思想，对二 元一次方程组解法的探究，也还只能停留在解给定具体系数 的方程组，还不能探究公式化的解法，对同解方程的理解也 只能停留在满足等式性质，不能全面地思考方程组有唯一确 定解所满足的条件，因此只能定位在渗透程序化思想上，而 不应把算法的学习作为本节课的重点．
2 2
）；规定记号M（x、y），N（x、y）表示含有未 知数x、y的二元一次整式（如M（x・y）=2x-y-1）
定理1：如果方程M（x・y）=0与N（x・y）=0是同解方 程，那么方程组： （1）A（x・y）=0，M（x・y）=0； （2）A（x・y）=0，N（x・y）=0. 是同解方程组 （摘自《初等代数教材教法》第267页定理13）。 这个定理告诉我们，方程组中某一个方程变形后与 未变方程组成的方程组是同解方程组。
8.2 消元——解二元一次方程组
什么是代入消“元” ？ 以前用过这种方法吗？
已知：x 2 y 3
学生解答如下：
求1 - x 2y的值
1- x 2 y 1（ - x 2 y) 1 3 2
1- x 2 y 1（ - 3 2 y) 2 y 1 3 2 y 2 y 2
二次根式 分式 整式 运算 相关概念 分类 代数式
实数
初 中 数 学 知 识 树
实践与运用
综合应用 提炼策略
课题学习
体会知识 形成过程
5
发展思维 能力
培养应用 意识
本章的地位和作用：
基础
研究
一元二次 方程 二元一次 一元一次 方法 方程组 方程
研 方 究 法
二 次 函 数
代 数 式
整 式
一 次 函 数
（2013北京中考）17. 列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行 绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划 提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相 同，求每人每小时的绿化面积。
（2014年中考）18．列方程或方程组解应用题 小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽 车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需 电费27．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需 的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0．54 元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电 费．
学 科思想/学科素 养
数学思想
数学核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
化归思想
模型思想
方程思想
整体思想
26
培养学生的数学 核心素养
2.方程和方程组 的同解原理
为了表达简练，规定记号A（x・y），B（x・y） 表示含有未知数x、y的二元二次整式（例如
A x 4 y x 3 y 1
定理3：方程组： （1）A（x・y）=0，M（x・y）・N（x・y）=0. 与下列两个方程组： （2）A（x・y）=0，M（x・y）=0.或A（x・y） =0，N（x・y）=0.是同解方程组 （摘自《初等代数教材教法》第270页定理16）。 这个定理告诉我们，某一个方程能用分解因式法降 次时，可以将原方程组写成两个方程组求解。
定理2：已知y=ax+b（a≠0），把y代入A（x・y）中的 y处，消去y，得到一个只含x的式子，记为P（x），那 么方程组： （1）A（x・y）=0，y=ax+b（a≠0）； 与（2）P（x）=0，y=ax+b（a≠0）. 是同解方程组 （摘自《初等代数教材教法》第269页定理15）。 这个定理告诉我们，把一个方程代入另一个方程所 得的方程与被代入方程组成的方程组是同解方程组，它 是代入消元法的依据。
算术法解应用题
一元一次方程
二元一次方程组
逆向思维
算术法解应用题
简单运算
一元一次方程
正向思维
二元一次方程组
复杂运算
能量守恒
课堂教学整体思路： 关注相似中的差异性
关注二元一次方程（组）与一元一次方程的比较，寻求 概念、解法、应用等的差异，这种同类问题相似中的不 同点，就是学生认知的冲突点，也是思维的提升点
（2012年北京）18．列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分 泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具 有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶 一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平 均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫 克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克 所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树 叶一年的平均滞尘量．