高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析.

A－1
=
1 0
2 1
，B－1
=
11
10 ，则 (AB)－1 =
；
评卷人 得分
七、解答题
1 2
14．已知矩阵 M
5
x
的一个特征值为
2
，求
M
2
.
2
15 ． 已 知 直 线
l：x
y
1 在 矩 阵
A
m 0
n 1
对
应
的
变换
作
用下
变
为直
线
l：x y 1，求矩阵 A .
16．[选修 4—2：矩阵与变换]
，则
x
y
．
6．已知一个关于
x,
y
的二元一次方程组的增广矩阵为
1 0
1 1
2 2
，则
x
y
_______．
7．矩阵
1 4
1 1
的特征值为
．
8．已知变换
M
1 0
0 b
，点
A(2,
1)
在变换
M
下变换为点
A(a,1)
，则
a
b
9．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在 10 ml 到 110 ml 之间，用 0.618法
的逆矩阵
A1
1 4
1
2
3
4
,求矩阵 A 的特征值.
1 2
试卷第 3 页，总 3 页
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参考答案 1．A 【来源】2012-2013 学年湖南省浏阳一中高一 6 月阶段性考试理科数学试题（带解析） 【解析】
试题分
析：根据
题意，由
于根据新
定义可知
2 的一个特征向量1
2 1
，属于
特征值 2
3
2 的一个特征向量
1 1
．
f 1 2 2 5 + 6
试题解析：矩阵 A 的特征多项式为
1 4
，
由 f 0 ，解得 1 2 ， 2 3 ．
x 2 y 0, 当 1 2 时，特征方程组为 x 2 y 0,
试题分析：解：矩阵
M
的特征多项式
f（λ）=
0
-1
0 -1
=（λ-1）（λ-1）0 所以（λ-1）
（λ-1）=0,可知 λ-=1，故即为所求的特征值，因此选 A.
考点：矩阵的特征值
点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程
思想，属于基础题．
4．2 或 3
【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析）
答案第 3 页，总 11 页
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试题分析：由矩阵特征多项式得 2 (x 1) (x 5) 0 一个解为 2 ，因此 x 3，再根
据矩阵运算得
M
2
6 5
4 14
1 2
5
2 (x 1) (x 5) 0 x
试题解析：解： 2代入 2
故 答 案 为 33.6ml 。
考点：黄 金 分 割 法 --0.618 法 点评：简单题，熟 练 掌 握 黄 金 分 割 法 的 基 本 概 念 及 步 骤 是 解 答 的 关 键 。
答案第 2 页，总 11 页
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10．1 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷带解析） 【解析】
，求矩阵
A1B
.
28．求使等式
2 3
4 5
2 0
0 1
M
成立的矩阵
M
．
29．已知矩阵
A=
a 1
b2 有一个属于特征值 1 的特征向量 21 .
(Ⅰ) 求矩阵 A；
(Ⅱ)
若矩阵
B=
1 0
11 ，求直线 x y 1 0 先在矩阵 A，再在矩阵 B 的对应变换作
用下的像的方程.
30．已知矩阵
A
试题分析：因为
2 1
0 3
x y
2 10
，所以
2x x
2 3y
10
解得
x y
1，所以 3
x
y
2
考点：矩阵的含义． 6．2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】 试题分析：由二元线性方程组的增广矩阵可得到
二元线性方程组的表达式
由
x y
' '
m
0
n 1
x y
mx
y
ny
,得
x
mx y
y
ny
又点 M (x, y) 在 l 上,所以 x y 1,即 (mx ny) y 1
依题意
m 1 n 1 1,解得
m 1 n 2
，
A
1 0
2 1
考点：矩阵变换
答案第 4 页，总 11 页
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y)
在矩阵
A
的变换作用下，变换为点
M
( x,
y)
，则有
y y
，因为
m 1 x y 1所以 (mx ny) y 1与 l：x y 1重合，因此 n 1 1．
试题解析：解：设直线 l : x y 1上任意一点 M (x, y) 在矩阵 A 的变换作用下，变换为点
M (x, y) ．
试题分析：设
A=
a
c
b
d
，则可知 a c
b d
1 0
12
=
1 0
0 ，可知得到 A= 1
1
0
2 ，同理可 1
知
B=
1 1 0
1
，则可知(AB)－1
=
11
32
考点：矩阵的乘法，逆矩阵 点评：利用矩阵的乘法法则及逆矩阵的求解，即可得到答案．属于基础题。
14．
M
2
6 5
4 14
【来源】2016 届江苏省泰州市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带解析） 【解析】
z 1 2i 0
1 2i 1 i ，即可知 z（1-i）-（1-2i）（1+2i）=0，∴z（1-i）=5
设 z=x+yi，∴z（1-i）=（x+yi）（1-i）=5，（x+y）+（y-x）i=5，x+y=5，y-x=0,那么可知
即 x=y= 5 ＞0 复数对应点在第一象限，故选 D. 2
考点：复数 点评：主要是考查了复数的基本概念和代数形式的混合运算，是高考常考点，也是创新题， 属于基础题。 3．A 【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】
12．
y n
x
m
【来源】2012-2013 学年江苏淮安市涟水县第一中学高一下学期期末考试数学题（带解析） 【解析】
试题分析：根据矩阵乘法法则得，
x m
y 0
n
1
1
0
y n
x
m
。
考点：矩阵乘法法则。 点评：简单题，应用矩阵乘法法则直接计算，属于基础题。
13． 11 32
【来源】2012-2013 学年福建省建瓯二中高二下学期第一次月考数学试题（带解析） 【解析】
【解析】
试题分析：由题意得| x
x2
1 x2
1
| 2 |
| 4 |
x | 0 ，所以 x2 x 6 0 ，解得
3 9
19
1 3
答案第 1 页，总 11 页
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x 2 或 3 ．
考点：三阶行列式的应用． 5．2 【来源】【百强校】2015-2016 学年上海师大附中高二上期中数学试卷（带解析） 【解析】
16．属于特征值 1
2 的一个特征向量1
2 1
属于特征值 2
3
2 的一个特征向量
1 1
【来源】2016 届江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市高三上期末数学试卷（带解析） 【解析】
f 1 2 2 5 + 6
试题分析：由特征多项式为
1 4
=0 解得两个特征值 1 2 ，
2
3
．再代入得对应特征方程组，因此属于特征值 1
试题分析：由已知
，
，
所以 x﹣2=0，x﹣y=1 所以 x=2，y=1． 考点：二阶行列式的定义 点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题 【答案】0 【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷带解析）
【解析】 x2 y2 2xy x y 0 ．
【考点定位】考查矩阵的运算，属容易题。
a c
b
d
e
f
ae ce
bf df
，
那
么
由
2
,
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
cos cos
cos sin sin sin
s in( cos(
) )
=
0 0
，故选
A.
考点：矩阵的乘法 点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查 知识点比较多有一定的计算量 2．D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析： 按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于
24．已知
N=
0 1
1
0
,计算
N2.
25．已知矩阵
M＝
1 3
2 4
，N＝
0 1
1
3
．
（1）求矩阵 MN； （2）若点 P 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到 Q(0，1)，求点 P 的坐标．
26．已知矩阵
A
2 0
0
1
，
B
1 2
1
5
，求矩阵
A1B
27．已知矩阵
A
1 0
0 2
，
B
0 1
2 6
高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析
1
．
定
义
运算
a c
b
d
e
f
ae bf ce df
，如
1 0
2 3
4 5
14 15
.已知
，
2
，则
sin cos
cos sin
cos sin
（
）.
A.
0 0
B.
0
1
C.
1 0
Leabharlann Baidu
D.
1 1
ab
z 1 2i
ad bc
0
2．定义运算 c d
【来源】2013 届湖南省株洲市二中高三第五次月考文科数学试题（带解析） 【解析】 试题分析：根 据 公 式 x1=小 +0.618（ 大 -小 ） =10+0.618（ 110-10） =71.8， x2=小 +大 -x1=10+110-71.8=48.2， 此 时 差 点 将 区 间 分 成 两 部 分 ， 一 部 分 是 [10， 71.8]， 另 一 部 分 是 [71.8， 110]将 不 包 含 好 点 的 那 部 分 去 掉 得 存 优 部 分 为 [10， 71.8]， 根据公式 x3=小+大-x2=10+71.8-48.2=33.6， 所以第三次实验时葡萄糖的加入量为 33.6mL，
寻找最佳加入量时，若第一试点是差点，第二试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加
入量可以是
；
10．已知
，
，则 y= ．
11．若 x2
y2 x
x ，则 x y ______
1 1 y y
试卷第 1 页，总 3 页
12．计算矩阵的乘积
x m
y n
10
01 ______________
13．已知矩阵
x 0
y y
2 2
解得
x=4，y=2，故答案为：2．
考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义． 7．3 或－1. 【来源】2013-2014 学年江苏省连云港高二下学期期末数学试卷（选修物理）（带解析） 【解析】
试题分析：矩阵
1 4
1 1
的特征多项式为
1 4
1 1
(
1) 2
4 .令 (
1)2
,则符合条件 1 2i 1 i 的复数 z 对应的点在
() A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
3．矩阵 E
=
1 0
0 1
的特征值为(
A. 1
B. 2
) C. 3
D. 任意实数
1 4． 若行列式 1
2 x
4 x2
0 ，则 x
．
1 3 9
5．若
2 1
0 3
x y
2
10
已知矩阵
A
1 1
2 4
，求矩阵
A 的特征值和特征向量．
17．已知二阶矩阵
M
有特征值
=3
及对应的一个特征向量
e1
1 1
，并且矩阵
M
对应的
变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵 M． 18．（选修 4—2：矩阵与变换）
设
矩
阵
M
a 2
0
1
的一个
特征值为
2
，若
曲线
C
在
矩阵
M
变换下的
方程为
x2 y2 1，求曲线 C 的方程．
19．已知矩阵
A＝
3 c
d3，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α1＝11，属于
特征值 1 的一个特征向
量为 α2＝－32．求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵．
20．选修 4­2：矩阵与变换
已知矩阵
M＝
1 c
b 2
有特征值
λ1＝4
及对应的一个特征向量
e1＝
2 3
．
试卷第 2 页，总 3 页
（1）求矩阵 M； （2）求曲线 5x2＋8xy＋4y2＝1 在 M 的作用下的新曲线的方程．
21．求直线
x＋y＝5
在矩阵
0 1
0 1
对应的变换作用下得到的图形．
22．已知变换 T 是将平面内图形投影到直线 y＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．
23．求点
A(2，0)在矩阵
1 0
0 2
对应的变换作用下得到的点的坐标．
4
0 ，可
得 3或 1.故应填 3 或－1.
考点：矩阵特征值的定义. 8．1 【来源】2013-2014 学年江苏省阜宁中学高二下学期期中考试理科数学试卷（带解析） 【解析】
1 0 2 a 试题分析：由 0 b 1 1 得 a 2, b 1, a b 1.
考点：矩阵运算
9． 33.6ml
，得 x 3
1 2
M
5
3
矩阵 2
∴
M
2
6 5
4 14
考点：特征多项式
15．
A
1 0
2
1
【来源】2016 届江苏省扬州市高三上学期期末调研考试数学试卷（带解析） 【解析】
试题分析：利用转移法求轨迹方程，再根据对应求相关参数：设直线 l : x y 1上任意一
x mx ny
点
M
(x,