初中数学人教版 十字相乘法人教版

5.大小规律：（1）当常数项q＞0时，分解常数项所得的两个因数 的绝对值之和等于一次项系数的绝对值。 （2）当常数项q＜0时，分解常数项所得的两个因数的绝对值之差 等于一次项系数的绝对值。
用十字相乘法进行因式分解：
1.x2-x- 6 = (x+2)(x-3) 2.x2+2x-15= (x-3)(x+5) 3.x2-3x-10= (x+2)(x-5) 4.x2-9x+20= (x-5)(x-4) 5.x2-3x-28= (x-7)(x+4) 6.x2-2x-8= (x+2)(x-4) 7.x2-4x+3= (x-1)(x-3)
1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进行分解。
2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项。
3.关键步骤是：对常数项的处理，即把常数项分解为两个恰当的常 数之积，并使得这两个常数的和等于一次项系数。
4.符号规律：(1)当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相 同；(2)当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
儒家的最高境界是“拿得起”，佛家的最高境界是“放得下”，道家的最高境界是“想得开”；所以说，儒释道的最高境界，就是这三句话、九个字。中国历史上还曾有过其他一些“人生境界”说，其中三个最著名的，正好可以与儒释道这三大最高境界对照参悟。 跟儒家学拿得起。儒家是追求入世、讲究做事的，要求奋发进取、勇于担当、意志坚定。概括为三个字，就是“拿得起”。什么是“拿得起”？且看这个“儒”字——左边一个“人”，右边一个“需”，合起来就是“人之所需”。人活世上，有各种精神或生存的需要，满足这些需要就需要去获取。去拿，并且拿到了、拿对了，就是拿得起。
如何才能想得开？哲学大师冯友兰曾提出“人生四重境界”说，其中最高那层境界正是道家境界，所以正是路径所在。 一是自然境界。有些人做事，可能只是顺着他的本能或者社会的风俗习惯，而对所做的事并不明白或者不太明白。这种“自然”并非道家那个自然，而是指混沌、盲目、原始，那些人云亦云、随波逐流的人就是这种人。
二是功利境界。有些人，会为了利己而主动去思考和做事，虽然未必不道德，却必定是功利的，而且很容易走向自私自利、损人利己。 三是道德境界。有的人，已经超越了自身，而开始考虑利人，譬如为了道义、公益、众生福祉而去做事。他们的眼界已经超越自身而投向了世间，胸中气象和站立高度已经抵达精神层次。 四是天地境界。当一个人的视野放到了整个天地宇宙，目光投向了万物根本，他就抵达了天人合一。这时他就已经不需要动脑子了，因为天地宇宙就是他的脑子，已经事事洞明，就像电脑连接到了互联网。这种境界，正是道家境界。这四重境界，境界越高就越想得开。想开到什么程度，则决定于人的视野放到多大，眼界拔到多高。人处平地，到处都会遮眼阻路；人登顶峰，世间便能一览通途。这就是想得开的秘密——眼界大了，心就宽了；站得高了，事就小了。想不开，往往都是画地为牢、作茧自缚。
如何才能放得下？唐代禅宗高僧青原行思曾提出参禅的三境界，那正是路径所在。 第一重境界是“看山是山，看水是水”。人之最初，比如年少之时，心思是简单的，看到什么就是什么，别人说什么就相信什么。这样看待世界当然是简单而粗糙的，所看到的往往只是表面。但同时，正是因为简单而不放在心上，于是不受其困扰，这就是放下的心境。只是还太脆弱，容易被现实击碎。 第二重境界是“看山不是山，看水不是水”。人随着年龄渐长，经历的世事渐多，就发现这个世界的问题越来越多、越来越复杂，经常是黑白颠倒、是非混淆，无理走遍天下、有理寸步难行，好人无好报、恶人活千年。这时人是激愤的，不平的，忧虑的，怀疑的，警惕的，复杂的。于是人不愿意再轻易地相信什么，容易变得争强好胜、与人比较、绞尽脑汁、机关算尽，永无满足的一天。大多数人都困在这一阶段，虽然纠结、挣扎、痛苦，这却恰恰是顿悟的契机。因为看到了，才能出来；经历了，才能明白。 第三重境界是“看山还是山，看水还是水”。那些保持住本心、做得到忍耐的人，等他看得够了，经得多了，悟得深了，终于有一天豁然顿悟，明白了万般只是自然，存在就有存在的合理性，生会走向灭，繁华会变成寂寞，那些以前认为好的坏的对的错的，都会在规律里走向其应有的结局，人间只是无常，没有一定。这个时候他就不会再与人计较，只是做自己，活在当下之中。任你红尘滚滚，我自清风朗月；面对世俗芜杂，我只一笑了之。这个时候，就是放下了。
第二重境界是“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”。事情是需要去做才能成的，成越大的事业，需要越大的努力和付出，甚至要经受越大的磨难和困苦。这个世间，从来都是“艰难困苦，玉汝于成”；所以无论如何，都要“天行健，君子以自强不息”。 第三重境界是“众里寻她千百度，蓦(mò)然回首，那人却在，灯火阑珊处”。这说的是历经磨难而逐渐成熟、成长，最终豁然贯通、水到渠成。这其中蕴含一个重要道理，就是苏东坡所说的“厚积而薄发”。只有厚积才能薄发，人要做的，就是不断厚积，等待薄发。这就是拿得起的完整路径，也是事业成功的完整过程。 跟佛家学放得下 。佛家是追求出世、讲究清净的，要求能看到《金刚经》所言的“一切有为法，如梦幻泡影”，做到《心经》所言的“照见五蕴皆空”。概括为三个字，就是“放得下”。 什么是“放得下”？且看这个“佛”字——左边一个“人”，右边一个“弗”，弗的意思是“不”，合起来就是“不人”和“人不”。不人就是无人，也就是放下自我，摆脱私心的困缚；人不就是懂得拒绝，也就是放下欲望，超脱对外物的追逐。这两点能做到，就是放得下。
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
8＋(-10) ＝－2 x8
x
-10
即：8x+(-10x)＝ -2x
∴x2 -2x-80＝(x+8)(x-10)
如果q=ab，且p=a+b,那么如何对二次三项式 因式分解呢？
1、条件：对于二次三项式，如果能够把常数项q
分解成两个因数a、b的_积__，并且a+b等于_P__，那
么这样的二次三项式就可以用十字相乘法分解因式。
2、原式中的两个常数与所得结果中的 一次项系数有什么关系？
规律：原式中两个常数的和=结果中一次项的系数
这些多项式的特点是： 1、都是二次三项式，且二次项系数都是1； 2、常数项是两个因数之积； 3、一次项系数是常数项的两个因数之和。
引入：
我们已经学习了用提公因式法和公式法
来对多项式进行因式分解，那么请思考对于
多项式
能用我们学过的两种
方法进行进行因式分解吗？
探究一、 十字相乘法 如何对多项式
进行因式分解呢？
结合前面归纳的二次三项式的特点和因式分解 后的结果，独立思考后小组合作解决下面的问题：
二次三项式中的常数项及一次项系数与分解 后的结果中两个常数之间有何关系？
分解因式 x2-2x-80
解：∵ 8×(-10) ＝－80
=(x+1)(x-6)
思考：寻找分解常数项所得的两个因数与一次项系 数的符号和大小之间有何关系？
(一)符号规律:(1)当常数项为正数时，把它分解为两个同 号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
(2)当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积， 其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
自从那一天，我衣着脚，挑着行李，沿着崎岖曲折的田埂，离开故乡，走向了城市；从此，我便漂泊在喧嚣和浮躁的钢筋水泥丛林中，穿行于 中国文化三大支柱的儒释道，其内容相当丰富。以浩如海洋来比喻，都不之为过！ 近日，我在“儒风大家”上，看到一篇文章，仅用---三句话、九个字。说出了儒释道，其实并不高高在上，而是与我们的人生和日常生活密切相关！
第一重境界，是出得来，而进不去；第二重境界，是进得去，而出不来；第三重境界，才是进退自如、来去随意。放得下，是因为看透了、超脱了，所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的，要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字，就是“想得开”。什么是“想得开”？且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字，也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子，尽量透彻；走脑袋就是依胸中透彻而行，尽量顺应规律。合起来，就是要明道，并依道而行。这种智慧，就是想得开。
作业：把下列各式分解因式：
（1）x 2+4x+3
（2）a 2 -7a+10
（3）y 2-7y+12
（4）q 2-6q+8
（5）m 2 +7m-18
（6）p 2-5p-36
（比一比看谁想的答案多些）
先填空，再分解因式 说明：在等式的左边的___上填“+”或“-”,在 （）内填数字，等式右边填上因式分解后的结果。
-1
+6 x
-6
（2）x2+x-6
√x
-2 x
+2 x
-1 x
+1
x
+3 x
-3 x
+6 x
-6
（3）x2-8x+12
x x
+1 x +12 x
-1 x -12 x
√ +2 x
+6 x
-2 x -6 x
+3 x +4 x
-3 -4
将下列各式用十字相乘法进行因式分解 (1)x2-7x+12 =(x-3)(x-4) (2)x2-4x-12=(x+2)(x-6) (3)x2+8x+12 =(x+2)(x+6) (4)x2-11x-12 =(x+1)(x-12) (5)x2+13x+12=(x+1)(x+12)(6)x2-x-12 =(x+3)(x-4)
注意体会用十字相乘法分解因式时的 符号和大小规律
（比一比看谁想的答案多些）
先填空，再分解因式 说明：在等式的左边的___上填“+”或“-”,在 （）内填整数，等式右边填上因式分解后的结果。
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解，
应重点掌握以下问题：
预习检测
（1）(x+2)(x+3) =_____________ （2）(x+6)(x-2)=______________ （3）(x-10)(x+8)=_____________ （4）(x+a)(x+b)=______________ 思考：1、原式中两个的常数与所得结果中的
常数有什么关系？
规律：原式中两个常数的积=结果中的常数项
步骤：1、竖向分解二次项和常数项； 2、交叉相乘，并把所得的积相加； 3、检验交叉相乘所得的积的和是否
等于一次项。如果等于一次项，则横向书写 因式。如果不等于，则考虑重新分解常数项； 或者不能用十字相乘法进行分解。
4、横向书写因式，得出结果。
顺口溜：竖分常数交叉验； 横写因式不能乱。
3、关键：你认为用十字相乘法来进行因
式分解应该从哪里入手解决？其中关键是 什么？
（1）用十字相乘法来进行因式分解应 该从分解常数项入手解决。
（2）关键是：对常数项的处理。即：把 常数项分解为两个恰当的因数之积，使得 这两个因数的和等于一次项系数。
探究二、分解因式
(1)
=(x+2)(x+3) (2)
=(x-2来自百度文库(x-3)
(3)
=(x-1)(x+6) (4)
8.x2+7x+12= (x+3)(x+4) 9.x2+5x+6= (x+2)(x+3) 10.x2+4x-21=(x-3)(x+7) 11.x2+13x+12= (x+1)(x+12)
12.x2-11x-12= (x-12)(x+1) 13.y2+9y-36= (y+12)(y-3)
14.y2-11y-60= (y+4)(y-15)
即
解：∵ a×b ＝q ------ 分解常数项
∴ xa＋b ＝ap ----- 和一次项系数
十字交叉线
x
b
即：ax + bx = px ∴ x2+ax+b = (x+a) (x+b)
十字相乘法：利用十字交叉来分解系数，把二次 三项式分解因式的方法叫十字相乘法。
2、思考：用十字相乘法进行因式分解的步骤？
(二)大小规律：（1）当常数项q＞0时，分解常数项所得 的两个因数的绝对值之和等于一次项系数的绝对值。 （2）当常数项q＜0时，分解常数项所得的两个因数的绝 对值之差等于一次项系数的绝对值。
下面各题的十字相乘分解方法哪种是正确的？
（1） x2-7x+6
x
+2 x
x
+3 x
-2 x -3 x
√ +1 x