圆锥曲线之求轨迹方程

一、 直接法

、按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时

例1、已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.

例2、已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线

二、 定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现 例3、已知动圆过定点,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

，且与直线2p x =-相切，其中0p >.

求动圆圆心C 的轨迹的方程；

例4、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为 （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆

例5、已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.

例6、已知F1、F2是椭圆的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦

点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q 的轨迹

练习题：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

,sin 4

5

sin sin C A B =

+求点C 的轨迹。

三、相关点法

若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况

例7、已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．

122=+y x MQ ()0>λλ12

2

=+y x 01282

2

=+-+x y x ).0(122

2

2＞＞b a b x a y =+12

+=x y ,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

2

p x =-

例8、如图，从双曲线1:22=-y x C 上一点Q 引直线2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程。

例9、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x

c ，

0）、F 2（c ，

0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT 求点T 的轨迹C 的方程；

四、参数法

若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程

例10、 过抛物线px y 22=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.

五、交轨法

例11、 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122

22=-b

y a x 于

M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与

N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.