对称矩阵与反对称矩阵的若干性质

对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 一、预备知识： 定义 1 子式称为的顺序主子式. 定义 2 的所有顺序主子式全大于 0，则正定. 定义 3 如果 n 级复矩阵满足，那么是酉矩阵. 定义 4：矩阵成为对称的，如果，即. 定义 5 矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即. 定义 6 正交对角化的定义：一个矩阵称为可正交对角化,如果存在一个正交矩阵 和一个对角阵，使得. 定义 7 矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵. 定义 8 数域 P 上 nn 矩阵，称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 nn 矩阵 C，使 B. 二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质 1、对称矩阵的特有性质 （1）实对称矩阵的性质 性质 1 矩阵是对称矩阵，则可对角化.
性质 1 若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵. 证明：由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵. 性质 2 若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.
3
证明：由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.
性质 3 设为实对称矩阵，则的特征值均为实数. 证明：设是的特征值，于是有非零向量
满足
.
令
，
其中是的共轭复数，则 .
性质 4 任一复对称矩阵合同于规范形，其中 r； 任一实对称矩阵合同于规范形，其中 p 称为的正惯性指数，rp 称为的
负惯性指数，2pr 称为 A 的符号差. 2、反对称矩阵的特有性质
由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质. 性质 1 若，都是数域 P 上的 n 级反对称矩阵，则，k(k)亦都是反对称矩阵. 证明：,都是反对称矩阵，根据定义，，而，k.故，k(k)亦都是反对称矩阵. 性质 2 反对称矩阵的主对角元素全为 0. 证明：为反对称矩阵，,对于主对角线上的元素,所以 0,故结论成立. 性质 3 数域 P 上奇数级反对称矩阵的行列式等于 0. 证明：设是 n 级反对称矩阵，n 是奇数，则.从而，于是,由此得出，20,因此 0, 结论得证. 性质 4 设是反对称矩阵，则合同于 diag，其中 S,即反对称矩阵的秩一定是偶数. 证明：设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2， 反对称矩阵，明显地合同于，结论成立.
性质 1 设,对称的充分必要条件是存在矩阵使得 S，令 S，其中 U 是酉矩阵，而
2
D. 证明：矩阵对称，则由 Takagi 分解定理 S.其中.反之，若 S，则显然对称. 性质 2 设是 n 级实对称矩阵，则存在正定阵 S，使. 证明：由于正定，则存在正交阵 T，使 AT，其中 0.令,则 0,取矩阵 S T，则显然 S 也是正定矩阵，且. 例 4 设正定矩阵，求正定矩阵 S，使. 解：0,特征值为 1，4. 特征值 1 对应的线性无关特征向量,,正交化得,. 4 所对应的特征向量. 将单位化得，，.
假设 nk 时结论成立.当 nk1 时，若最后一列全为 0，则最后一行也全为 0,， 由归纳结论成立，若最后一列不全为 0，不妨设 0，先对作合同变换 再利用右下角，1，1,通过一系列的合同变换，可将两行两列的其余非零元素全 化为 0，那么合同于，其中仍为反对成矩阵，因此矩阵合同于，由归纳，则 nk1 时结论也成立. 3、实对称矩阵与反对称矩阵的类比性质
(充分性)由于任给 n 维列向量 X,均有 0，即 0,因此可取(第 i 分量是 1，
其他份量为零的 n 维列向量)代入，则 0.
再取代入，则得 0,即,所以是反对称矩阵.
设是对称矩阵，即，由于任一 n 维列向量 X,有 0，由也是反对称矩阵，即，那么，
所以 0.
性质 6 若对称矩阵可逆，则也是对称矩阵；
因此特征值为 2,2,8. 特征值对应的特征向量为,,. 令,则二次型的标准型为 2. 由前面的讨论可知，为对称阵，则也可正交对角化，那么上例也可求一正交 阵 Q，将二次型化为标准型.只需将,正交化，单位化得 ,,. 令 Q,则 Q 为正交阵，将原二次型化为标准型 2. 性质 4 设是 n 级实对称矩阵，且,则存在正交矩阵，使得 证明：由于是实对称矩阵，则存在正交阵，使,其中,…,为的特征值全为实数， 可不妨设,那么,由于,因此 1,从而(i),所以. 性质 5 设是 n 级实对称矩阵，且,则存在正交矩阵，使得 证明：因是实对称矩阵，故的特征值,…,,不妨设，则存在正交阵，使,由于,因 此,因此 0 或者,所以结论成立. 性质 6 秩等于 r 的对称矩阵可以表成 r 个秩为 1 的对称矩阵之和. 证明：由题设，，且 R,那么存在可逆矩阵使，其中 Ddiag,0,令 diag i1,2,…r， 那么 C…C,每个 C 都是对称矩阵，且秩为 1. 性质 7 设是 n 级实对称矩阵，则正定的充分必要条件是的特征值全正. 证明：因是实对称矩阵，则特征值，，…，均为实数，且存在正交阵 T，使.而合 同关系保持正定性，因此正定当且仅当正定当且仅当 (2)、复对称矩阵的特有性质 性质 1 复对称矩阵与实对称矩阵的区别：复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别 之一是不一定能对角化. 例：矩阵是不可对角化的 事实上,如果存在非奇异矩阵 P 和对角矩阵，使,那么 D，从而,矛盾. (3)、负对称矩阵与实对称矩阵的类比性质 复对称矩阵的 Takagi 分解定理:设是对称矩阵，则存在酉矩阵和非负对角矩阵, 使得.其中 U 的列是特征向量正交组，的对角元素是的相应特征值的非负平方根.
下面以例 1 为例介绍对称矩阵化为对角阵的方法.
例1 对角化矩阵 Step1:求矩阵的全部特征根
det 所以的全部特征根是 8,6,3. Step2:对于特征值求出齐次方程 0 的解
以同样的方法求出特征值,的解分别是 ,. Step3:令 ，
则存在矩阵 P，使得 DAP 为对角矩阵.
观察上例，我们知对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，故 可得出以下定理： 定理 1 如果是对称矩阵，那么不同特征值对应的特征向量是正交的.
取正交矩阵 T,则，令 S,则. 性质 3 对称矩阵的谱分解 假设,此处 P 的列是.
利用乘积的行列展开，我们可以得到 （2） 由于它将分解为的谱（特征值）确定的小块，这个的表示就称为的谱分解，
而（2）中每一项都是一个秩为 1 的 nn 的矩阵.
证明：设、是对应不同特征值、的特征向量.
为证明 0，计算 因此 0，但是，所以. 性质 2 对称矩阵可正交对角化
下面以例 2 为例介绍对称矩阵正交对角化的方法.
例 2 设，求正交矩阵使得为对角矩阵.
解： 因此特征值为 1，3. 解方程 X0，得特征向量，令
1
解方程 X，得特征向量，. 将,正交化，令， , 将单位化得,,, 令正交矩阵,则
在式两边取转置得
，即
由
和 可知
而
故 ，即是一个实数. 性质 4 反对称实对称矩阵的特征值是零或纯虚数.
证明：由于是实反对称矩阵，因此，且，设 C 为 S 的一特征值，且 0 为对应的一
特征向量，那么，对其分别取转置与共轭，则，，，将两式相加，得 0,即为零或
纯虚数.
性质 4 数域 P 上任一 n 级矩阵都可以表示成一个堆成矩阵与一个反对称矩阵之
.
性质 3 对称矩阵与二次型的标准型，即对称矩阵的对角化问题. 上的一个二次型是一个定义在上的函数，它在向量 x 处的值可由表达式计 算，此处是一个 nn 对称矩阵，且矩阵称为二次型的矩阵.由对称矩阵的合 同标准型定理知，任意对称矩阵都可合同于一对角阵，将此与二次型的标 准型联系，就可得到将二次型化为标准型的方法.下面通过例题说明； 例 3 求一变量替换 xy,把二次型 4 化为标准型. 解：二次型的系数矩阵是
和，且表法唯一.
证明：，由于，，因此是对称矩阵，是反对称矩阵.从而是对称矩阵，是反对称矩
阵.故结论成立.
性质 5 设是一个 n 级矩阵，则
是反对称矩阵当且仅当对任一 n 维列向量 X，有 0;
如果是对称矩阵，且对于任一 n 维列向量有 0，那么 0.
证明：(必要性)设是反对称矩阵，即，由于，因此，即 20,即得 0.
若反对称矩阵可逆，则也是反对称矩阵.
证明：设为对称矩阵且可逆，则,故也是对称矩阵.
设为反对称矩阵且可逆，则,故也是对称矩阵.
性质 7 若对称（反对称），则它的合同矩阵也对称（反对称）.
证明：设矩阵对称，与合同，则存在可逆矩阵使，故 P.
若为反对称矩阵，用同样的方法亦证明.
4