第二章2.2-2.2.1第1课时综合法

第二章 推理与证明
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2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
第 1 课时 综合法
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[学习目标] 1.了解直接证明的基本方法——综合 法，理解综合法的思考过程、特点(重点).2.会用综合法证 明一些数学问题(重点、难点)．
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1．综合法的定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法． 温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用 相关的定义、定理、公理和已知条件
π
π
A. 3
B. 6
π
π
C. 4
D. 2
解析：因为 a2＋b2－c2＝ab，
所以 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝12.
又 C∈(0，π)，知 C＝π3 .
答案：A
பைடு நூலகம்
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3．平面内有四边形 ABCD 和点 O，O→A＋O→C＝O→B＋ O→D则四边形 ABCD 为( )
A．菱形 B．梯形 C．矩形 D．平行四边形 解析：由于OA→＋O→C＝O→B＋O→D ∴O→A－O→B＝O→D－O→C，即B→A＝C→D
公式转化． 2．从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推
知”由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就 是顺推法的格式，它的常见书面表达是“因为，所以”或 “⇒”．
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[变式训练] 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
故四边形 ABCD 为平行四边形． 答案：D
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4．已知关于 x 的方程 x2＋(k－3)x＋k2＝0 的一根小 于 1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知 f(1)<0， ∴12＋(k－3)×1＋k2<0， 解得－2<k<1. 答案：－2<k<1
类型 2 综合法在代数证明中的应用 [典例 2] 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设 bn＝2an－n 1，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项 公式． 证明：因为 an＋1＝2an＋2n 所以a2n＋n 1＝2an－n 1＋1
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由于 bn＝2an－n 1 从而 bn＋1＝bn＋1，且 b1＝a210＝1 所以数列{bn}是首项为 1，公差为 1 的等差数列． 则 bn＝1＋(n－1)·1＝n. 所以 an＝2n－1·bn＝n·2n－1.
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2．综合法框图表示 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
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1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)综合法证明的依据是三段论．( ) (3) 综 合 法 的 推 理 过 程 实 际 上 是 寻 找 它 的 必 要 条 件．( )
求证：a，b，c 成等差数列． 证明：∵sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1 ∴(sin A＋sin C)sin B＝2sin2B 在△ABC 中，sin B≠0
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所以 sin A＋sin C＝2sin B 由正弦定理，得 a＋c＝2b. 故 a，b，c 成等差数列．
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证明：因为a，b，c是正数， 所以b2＋c2≥2bc，故a(b2＋c2)≥2abc.① 同理，b(c2＋a2)≥2abc，② c(a2＋b2)≥2abc.③ 因为a，b，c不全相等， 所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中 不能同时取到“＝”．
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所以①②③式相加得， a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
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解析：综合法是由因导果，因此①错．综合法是从“已 知”看可知，逐步推出“未知”，推理过程的依据是三段 论其逐步推理实际上是寻找它的必要条件，故②③正确．
答案：(1)× (2)√ (3)√
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2．已知 a，b，c 分别是△ABC 的内角 A，B，C 的
对边，且 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的值为( )
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＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－2sin αcos(α＋ β)
＝sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β 所以 sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)
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归纳升华 1．从要证等式中“角”的关系入手，沟通角的联系 “2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α”正确利用三角变换
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类型 3 综合法证明立体几何(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)(2014·湖北卷)如图，在 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，P，Q，M，N 分别是 棱 AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1 的中点． 求证：
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(1)直线 BC1∥平面 EFPQ. (2)直线 AC1⊥平面 PQMN. 审题指导：(1)要证直线 BC1∥平面 EFPQ，只需证明 BC1∥FP. (2)要证直线 AC1⊥平面 PQMN，只需证明 MN⊥AC1 及 PN⊥AC1 便可．
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归纳升华 综合法证明数列问题的依据有如下几类： (1)数列的概念，特别是等差、等比数列的定义； (2)等差数列、等比数列的性质及前 n 项和的性质； (3)数列的通项公式与前 n 项和之间的关系，递推公 式与通项公式的关系．
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[变式训练] 已知a，b，c是不全相等的正数，求 证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
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5．已知等差数列{an}，Sn 表示前 n 项和，a3＋a9>0， S9<0，则 S1，S2，S3，…中最小的是________．
解析：因为{an}为等差数列 ∴a3＋a9＝2a6>0，则 a6>0 又 S9＝9a5<0，则 a5<0 故 S5 最小． 答案：S5
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类型 1 综合法证明三角等式问题(自主研析) [典例 1] 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α ＋β) [自主解答]因 sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos(α＋β)