(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档

而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ， 即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是
un
(
x)
之和.
n1
解
un (x) un (x) xn1ex ， 即
由一阶线性非齐次微分方程公式知
即
因此
由
e n
un (1)

e(C
1) n
知， C
0
，
于是
下面求级数的和：
令
则
我去即人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
由一阶线性非齐次微分方程公式知
令
x
0
，得
0
S
(0)
C
，因此级数
e nx
e
)x
，其中
n
是给定的正整数.
x0
n
解:因
故
因此
三、（15
分）设函数
f
(x) 连续， g(x)
1 0
f
(xt)dt ，且 lim x0
f
(x) x
A，
A为
常数，求 g(x) 并讨论 g(x) 在 x 0 处的连续性.
解:由 lim f (x) A 和函数 f (x) 连续知，
x0 x
f (0) lim f (x) lim x lim f (x) 0
xn (1 a)(1 a)(1 a2 )(1 a2n ) / (1 a)
= (1 a2 )(1 a2 )(1 a2n ) / (1 a) = = (1 a2n1 ) / (1 a)
(2) lim x
ex
1
1 x
x2
ln e x (1 1 )x2
lim e x x
x2 ln(1 1 )
lim e x x
2e
e
d 2 y d (dy / dx) d (dy / dx) / dt '' (t)(2 2t) 2 ' (t) =。。。
dx2
dx
dx / dt
(2 2t)3
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15
分）设
an
0,
Sn
n
ak
, 证明：
k 1
（1）当
1 时，级数
n1
an Sn
直线，均匀椭球
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1，其中（ 0
c
b
a, 密度为
1）绕 l
旋转。
（1）求其转动惯量；
x
令 x=1/t,则
原式= (ln(1t )t )
lim e t2
1/(1t )1
lim e 2t
1
lim e 2(1t)
1
e 2
t0
t0
t0
（3） In
esx xndx ( 1)
0
s
xndesx
0
( 1)[xnesx s
|0
esxdxn ]
0
n
s
esx xn1dx
0
n s
x0
x x0 x0
因 g(x)
1 f (xt)dt ，故 g(0)
1
f (0)dt
0
0
f (0) 0 ，
因此，当
x
0
时，
g(x)
1 x
x
0
f
(u)du
，故
当 x 0 时，
g(x)
1 x2
x
f (u)du
f (x) ，
0
x
这表明 g(x) 在 x 0 处连续.
四、（15 分）已知平面区域 D {(x, y) | 0 x , 0 y }， L 为 D 的正
2．设
f
(x)
是连续函数，且满足
f
(x)
3x2
2 0
f
( x)dx
2
,则
f (x) ____________.
解:令
A
2
0
f
( x)dx
，则
f
(x)
3x2
A
2
，
A
2
(3x
2
A 2)dx
8 2(A 2)
4 2A ,
0
解得 A 4 。因此 f (x) 3x2 10 。
3
3
3．曲面 z x2 y2 2 平行平面 2x 2 y z 0 的切平面方程是
我去向人边界也，就试有证：人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
（1） xesin ydy yesin xdx xesin ydy yesin xdx ；
L
L
（2） xesin ydy yesin ydx 5 2 .
L
2
建议证收:因藏被积下函数的载偏导本数连文续在，D 上以连续便，故随由格林时公式学知 习！
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
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2009-2010 年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分）
(x y) ln(1 y )
1．计算 D
un
(x)
的和
n1
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 八、（10
分）求
x
1
时,与
xn2
等价的无穷大量.
n0
解令 f (t) xt2 ，则因当 0 x 1 ， t (0, ) 时， f (t) 2txt2 ln x 0 ，
故
f (t)
xt2
t 2 ln 1
e x
在 (0, ) 上严格单调减。因此
即
f (t)dt
f (n) 1
f (t)dt ，
0
n0
0
又
f (n) xn2 ，
n0
n0
f (t)dt
xt2 dt
t 2 ln 1
e x dt
0
0
0
1
et2 dt
10
1 ，
12
ln
ln
x
x
所以，当
x
1
时,与
xn2
等价的无穷大量是
1
n0
2
。
1 x
2010-2012 年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
x dxdy 16/15，其中区域 D 由直线
1 x y
x y 1与两坐标轴所围成三角形区域.
解:令 x y u, x v ，则 x v, y u v ，
dxdy
det
0 1
11 dudv dudv ，
1
u2
du （*）
0 1u
令 t 1 u ，则 u 1 t 2
du 2tdt ， u2 1 2t 2 t 4 ， u(1 u) t 2 (1 t)(1 t) ，
2
__________. 解:因平面 2x 2 y z 0 的法向量为 (2,2,1) ，而曲面
z
x2 2
y2
2 在 (x0 ,
y0 ) 处的法向量为 (zx (x0 ,
y0 ), z y (x0 ,
y0 ),1) ，
我去人也就有故 (人zx (x！0, y0为), zyU(xR0,扼y0),腕1) 与入(2站,2,内1) 平信行不，因存此在，由向z你x x偶，同意调剖沙
（4）设函数 f (t) 有二阶连续导数， r
x2
y2 , g(x, y)
f
1 r
，求
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
2g 2g 。
x2 y2
建议收藏下载本文，以便随时学习！ （5）求直线l1
x
:
z
y 0
0 与直线 l2
:
x
2 4
y 1 2
z3 1
的距离。
解：（1） xn (1 a)(1 a2 )(1 a2n ) =
n1
n2
k1
于是， k1
2
an sn
k1 2
an sn
2 an 1
sk1
2
依此类推，可得存在1 k1 k2 ...
使得 ki1
ki
an sn
1 成立，所以 kN
2
1
an sn
N1 2
当 n 时， N
，所以
n1
an sn
发散
五、（15 分）设 l 是过原点、方向为 (, , ) ，（其中 2 2 2 1) 的
小于 0 的值，所以只需在两边找两大于 0 的值。
将 f(x)二阶泰勒展开：
因为二阶倒数大于 0，所以
lim f (x) ， lim f (x)
x
x
我去证人明完也成就。有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
三、（15
分）设函数
y
f
(
x)
由参数方程
x y
2t t (t)
2
(t
I n 1
n(n 1) s2
In2
n! sn I0
n! s n 1
二、（15 分）设函数 f (x) 在 (, ) 上具有二阶导数，并且
f
( x)
0, lim x
f
( x)
0, lim x
f
( x)
0,
且存在一点
x0
，使得
f
(x0 )
0
。
证明：方程 f (x) 0 在 (, ) 恰有两个实根。
解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为 f(x)有
二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是二阶常系数 线性非齐次微分方程
的三个解，则 y2 y1 ex e2x 和 y3 y1 ex 都是二阶常系数线性齐次 微分方程
的解，因此 y by cy 0 的特征多项式是 ( 2)( 1) 0 ，而 y by cy 0 的特征多项式是 因此二阶常系数线性齐次微分方程为 y y 2y 0 ，由 y1 y1 2 y1 f (x) 和 y1 ex xex 2e2x ， y1 2ex xex 4e2x 知， f (x) y1 y1 2 y1 xex 2ex 4e2x (xex ex 2e2x ) 2(xex e2x ) 二阶常系数线性非齐次微分方程为 六、（10 分）设抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点.当 0 x 1 时, y 0 ,
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知
识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
一、（25 分，每小题 5 分）
（1）设
xn
(1
a)(1
a2 )(1
a2n
), 其中|
a
| 1,
求
lim
n
xn .
（2）求
lim
x
ex
1
1 x
x2
。
（3）设 s 0 ，求 I esx xndx(n 1, 2,) 。 0
且
f
1 ，则
d2 y dx 2
________________.
解:方程 xe f ( y) e y ln 29 的两边对 x 求导，得
因 e y ln 29 xe f ( y) ，故 1 f ( y) y y ，即 y
1
，因此
x
x(1 f ( y))
二、（5
分）求极限 lim(ex
e2x
1) 所确定，其
中
(t)
具有二阶导数，曲线
y
(t)
与
y
t2
1
eu2
du
3 2e
在
t
1出相切，
建议求函数收(t藏) 。 下载本文，以便随时学习！
解：（这儿少了一个条件 d 2 y ）由 y (t) 与 y t2 eu2 du 3 在
dx2
1
2e
t 1出相切得
(1) 3 ， ' (1) 2
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
又已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1所围图形的面积为 1 .试确定 a, b, c ,
3
使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 解因抛物线 y ax2 bx 2 ln c 过原点，故 c 1 ，于是
建议即 收藏下载本文，以便随时学习！
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0 ，即曲面 z x2 y2 2 平行平面 2 2x 2 y z 0 的切平面方程是 2x 2 y z 1 0 。 4．设函数 y y(x) 由方程 xe f (y) e y ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，
sn dx x s1
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙 而
sn s1
dx x
a1 s1
lim sn1 s11 n 1
a1 s1
s11 k ，收敛于 k。
1
所以，
n1
an sn
收敛。
（2） lim n
sn
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