棱柱、棱锥和棱台-PPT课件
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8.1第1课时 棱柱、棱锥、棱台-高一数学同步课件(人教A版必修第二册)
两个面的公共边叫做多面体的棱；
（棱AB，棱AF，棱BE……）
多面体的顶点：
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（顶点A，顶点B，顶点C，顶点D，顶点E，顶点F）
多面体的相关概念
多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；
多面体至少有4个面；
各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如下五种——
√
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
√
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
解析
A中的平面不一定平行于底面，故A错；
由棱台的定义知，D正确；
B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线
不能相交于一点，故B，C错.
跟踪训练3
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
形的四棱柱也叫平行六面体.
直四棱柱
斜三棱柱
正五棱柱
平行六面体
棱柱的结构特征
侧棱不垂直底面
斜棱柱
底面是平行四边形
平行六面体
棱柱
侧棱垂直底面
直棱柱
底面是正n边形
正n棱柱
底
面
是
矩
形
长方体
各棱长都相等
正方体
例1
(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
侧面都是梯形；
各侧棱的延长线交于一点．
′
′
侧面
下底面
′
顶点
棱台ABCD -A′B′C′D′
棱台的分类：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱
（棱AB，棱AF，棱BE……）
多面体的顶点：
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（顶点A，顶点B，顶点C，顶点D，顶点E，顶点F）
多面体的相关概念
多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；
多面体至少有4个面；
各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如下五种——
√
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
√
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
解析
A中的平面不一定平行于底面，故A错；
由棱台的定义知，D正确；
B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线
不能相交于一点，故B，C错.
跟踪训练3
下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
形的四棱柱也叫平行六面体.
直四棱柱
斜三棱柱
正五棱柱
平行六面体
棱柱的结构特征
侧棱不垂直底面
斜棱柱
底面是平行四边形
平行六面体
棱柱
侧棱垂直底面
直棱柱
底面是正n边形
正n棱柱
底
面
是
矩
形
长方体
各棱长都相等
正方体
例1
(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
侧面都是梯形；
各侧棱的延长线交于一点．
′
′
侧面
下底面
′
顶点
棱台ABCD -A′B′C′D′
棱台的分类：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱
课件4：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第1课时）
棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
A．只有两个面平行
B．所有的棱都相等
C．所有的面都是平行四边形 D．两底面平行，且各侧棱也平行
[解析] 长方体也是棱柱，以长方体为例，可知A、B不正确，
棱柱的两底面可以是三角形，五边形等，故C不正确，因此选D.
[答案] D
2．下列命题中正确的是( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体
l2＝x2＋y2＋z2＝12[(x2＋y2)＋(x2＋z2)＋(z2＋y2)]
＝12(a2＋b2＋c2)，∴l＝
a2＋b2＋c2 2.
跟踪练习 2 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2、
3、 6，这个长方体对角线的长是( )
A．2 3
B．3 2 C．6
D. 6
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，对角线长为 d.
长方体对角线问题
例2 经过长方体同一个顶点的三个面的对角线长分别是a、b、c，那
a2＋b2＋c2
么这个长方体的体对角线长是_______2_________．
[解析] 设经过长方体同一顶点的三条棱长分别为 x、y、z，
则有 x2＋y2＝a2，x2＋z2＝b2，z2＋y2＝c2.
设长方体的体对角线长为 l，则有
2．(1)棱柱是____有__两__个__面__互__相__平__行__，__其__余__各__面__都__是_____ ___四__边__形__，__且__每__相__邻__两__个__面__的__公__共__边__都__互__相__平__行____的面所围成的 几何体． 棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的___底__面___，其余各面叫做棱 柱的___侧__面___，两侧面的公共边叫做棱柱的__侧__棱____．两底面之 间的距离叫做棱柱的____高____． (2)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 __三__棱__柱__、__四__棱__柱__、__五__棱__柱__、…….
课件5：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（第2课时）
(2)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形、……分别叫做 _三__棱__锥___、_四__棱__锥___、_五__棱__锥___、……. (3)棱锥的底面是__正__多__边__形___，_它__的__顶__点__又__在__过__底__面__正___ _多__边__形__中__心__与__底__面__垂__直__的__直__线__上___，则这样的棱锥叫做正棱锥． 正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些三角形底边上的高都 相等，叫做棱锥的__斜__高____．
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 第2课时 棱锥和棱台
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1．棱锥 (1)棱锥是__有__一__个__面__是__多__边__形__，__其__余__各__面__都__是__有__一__个____ __公__共__顶__点__的__三__角__形___，这样的一些面所围成的几何体． 棱锥中，有公共顶点的各三角形面叫做棱锥的____侧__面______；各 侧面的公共顶点叫做棱锥的___顶__点___；相邻两侧面的公共边叫做 棱锥的___侧__棱___；多边形的面叫做棱锥的__底__面____；顶点到底面 的距离叫做棱锥的___高_____．
[解] 如图，设 PO 是正三棱锥 P－ABC 的高，D 是 BC 的中点， 连接 PD、OB、OD，则 PO⊥OB，PO⊥OD，PD⊥BC，则 PD 为正三棱锥的斜高．
在等边△ABC
中，OB＝23×
23×4＝4
3
3，OD＝12OB＝2
3
3 .
在 Rt△POD 中，PD＝ PO2＋OD2
＝
(
3)2＋(2 3 3)2＝
2．棱台 (1)棱锥被平行于底面的平面所截，底面与截面间的部分叫做 ___棱__台___． 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_下__底__面___和_上__底__面___， 其他各面叫做棱台的__侧__面____；相邻两侧面的公共边叫做棱 台的侧棱；两底面间的距离叫做棱台的___高_____． (2)由正棱锥截得的棱台叫做__正__棱__台__，正棱台各侧面都是全 等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的___斜__高___． (3)棱台可用表示上、下底面的字母来命名．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件
⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．
【答案】 (1)③④ (2)②③④ 【名师点评】 解决这类与多面体的概念有关的命题真假 判定的问题，关键在于理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的概 念、准确把握它们的结构特征．
跟踪训练
1．给出下列几个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
跟踪训练
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一 个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( ) A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 解析：选A.长方体水槽固定底面一边后倾斜，水槽中的水 形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这 符合棱柱的定义．
跟踪训练
3．某城市中心广场主题建筑是一三棱锥，且所有边长均 为10 m，如图所示，其中E、F分别为AD、BC的中点． (1)画出该几何体的表面展开图，并注明字母； (2)为迎接国庆，城管部门拟对该建筑实施亮化工程，现 预备从底边BC中点F处分别过AC、AB上某点向AD中点E 处架设LED灯管，所用灯管长度最短为多少？
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．空间几何体 (1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体 的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象 出来的__空__间__图__形___就叫做空间几何体． (2)多面体 定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围 成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公 共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的 _顶__点___．
题型三 多面体的表面展开图
例3 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什 么几何体？
高中数学新人教A版必修2课件：第一章空间几何体1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征
探究一
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究四
探究一棱柱、棱锥、棱台的结构特征
棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉
及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的
第一章
空间几何体
-1-
1.1
空间几何体的结构
-2-
第1课时
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
-3-
首 页
学习目标
1.了解空间几何体的分类及其相关
概念.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这
三种几何体的结构特征,能够识别和区
分这些几何体.
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
思维脉络
HONGDIAN NANDIAN
解析:当截得棱台的棱锥的侧棱不相等时,棱台的侧棱不相等.
答案:C
3
S 随堂练习
UITANG LIANXI
4
5
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
2
3
S 随堂练习
UITANG LIANXI
4
5
3.如果一个棱锥的侧面都是正三角形,则该棱锥最多是
棱锥.
度最短为多少?
首 页
探究一
探究二
探究三
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
数学人教A版(2019)必修第二册8.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征(共22张ppt)
分类：按照棱的数量分为，三棱台、四棱台、…
思考探究
思考：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交 于一点吗？
其侧棱延长线一定交于一点。
即时自测
1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个
数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
即时自测
2．下面说法中，正确的是( ) A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱 台的结构特征．
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系． 3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活
中简单物体的结构和有关计算．
新课导入
立体几何是研究现实世界中物体的形状，大小与 位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的 应用，在现实生活中，有许许多多的立体图形，你能 将他们抽象出来说出他们的名字吗？
B．一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这 个几何体为( )
A．四棱柱 C．三棱柱
B．四棱锥 D．三棱锥
答案：D
课堂小结
1、多面体和旋转体的定义 2、棱柱、棱锥和棱台的定义和特征
新课导入
思考：在现实生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如 何描述它们的形状？
技巧小结
观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描 述它的结构特征，应该先从整体入手，想象成围成 物体的每个面的形状，面和面之间的关系，并注意 利用平面图形的知识。
从刚刚的图片可以看出，围成它们的面有的是 平面图形，有的是曲面图形。
根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一 定是平行四边形．
思考探究
思考：棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交 于一点吗？
其侧棱延长线一定交于一点。
即时自测
1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个
数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：D
即时自测
2．下面说法中，正确的是( ) A．上下两个底面平行且是相似的四边形的几何体是四棱
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
学习目标
1．通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱 台的结构特征．
2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系． 3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活
中简单物体的结构和有关计算．
新课导入
立体几何是研究现实世界中物体的形状，大小与 位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的 应用，在现实生活中，有许许多多的立体图形，你能 将他们抽象出来说出他们的名字吗？
B．一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这 个几何体为( )
A．四棱柱 C．三棱柱
B．四棱锥 D．三棱锥
答案：D
课堂小结
1、多面体和旋转体的定义 2、棱柱、棱锥和棱台的定义和特征
新课导入
思考：在现实生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如 何描述它们的形状？
技巧小结
观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描 述它的结构特征，应该先从整体入手，想象成围成 物体的每个面的形状，面和面之间的关系，并注意 利用平面图形的知识。
从刚刚的图片可以看出，围成它们的面有的是 平面图形，有的是曲面图形。
根据棱柱的概念可知，棱柱侧面一 定是平行四边形．
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
＝1＝4，
2
sin 30°
2
1
∴S 正四棱锥侧＝ ×(4×4)×4＝32，
2
S 正四棱锥表＝42＋32＝48，
即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
例题剖析
练习：已知正四棱台上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：(法一)设正四棱台为ABCD − A1 B1 C1 D1 ，如图.设B1 F为斜高.
的体积相等．
概念讲解
问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱 = Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离
概念讲解
问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积
有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，
PART.01
情境引入
情境导入
埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具
很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数
量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如
此宏伟的金字塔的?这真是一个十分难解的
谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥.
思考：如何求金字塔的体积和表面积？
问题提出
对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为
例题剖析
解：(2)设三棱锥A − A1 BD的高为h，则
V三棱锥A−A BD
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ S∆A1 BD ∙ h = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵V三棱锥A−A BD = V三棱锥A −ABD = a3 ，
2
sin 30°
2
1
∴S 正四棱锥侧＝ ×(4×4)×4＝32，
2
S 正四棱锥表＝42＋32＝48，
即该正四棱锥的侧面积是 32，表面积是 48.
例题剖析
练习：已知正四棱台上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：(法一)设正四棱台为ABCD − A1 B1 C1 D1 ，如图.设B1 F为斜高.
的体积相等．
概念讲解
问题1：由祖暅原理你能得到什么启发？棱柱的体积是？
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱 = Sh.
棱柱的高是指两底面之间的距离
概念讲解
问题2：将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积
有什么关系？它们与三棱柱的体积有什么关系？
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，
PART.01
情境引入
情境导入
埃及金字塔被誉为世界奇迹,在生产工具
很落后的时代,埃及人是怎样采集、搬运数
量如此之多,每块又如此之重的巨石垒成如
此宏伟的金字塔的?这真是一个十分难解的
谜.图中的金字塔外形是一个正四棱锥.
思考：如何求金字塔的体积和表面积？
问题提出
对于空间几何体，我们分别从结构特征和直观图两个方面进行了研究，但为
例题剖析
解：(2)设三棱锥A − A1 BD的高为h，则
V三棱锥A−A BD
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ S∆A1 BD ∙ h = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵V三棱锥A−A BD = V三棱锥A −ABD = a3 ，
高中数学《棱柱、棱锥、棱台的结构特征 》课件
17
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解析 棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形 成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何 体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点， 故②对．
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之 间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相 交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确.
所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．
29
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拓展提升 空间几何体的展开图
(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构 特征发挥空间想象能力和动手能力．
(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标 上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．
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第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1
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2
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知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念 1．空间几何体的定义
(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．
30
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【跟踪训练 3】 根据如下图所给的平面图形，画出立 体图．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
刷基础
7.[江苏苏、锡、常、镇四市 2020 教学情况调研]已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 6，M 是对角线 A1C
上靠近点 A1 的三等分点，则三棱锥 C－MBD 的体积为___2_4____．
解析
VC－MBD＝VM－BCD＝13×12BC2×23AA1＝19×63＝24.故答案为 24.
解析
由题意得，该饰品的表面积为 6 个边长为 2 cm 的正方形与 8 个边长为 2 cm 的正三角形的面积之和，则
该饰品的表面积 S＝6×(
2)2＋8×
3 4 ×(
2)2＝12＋4
3(cm2)．故选 A.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
刷基础
10．[河南开封 2020 高二期末]将 3 个 12 cm×12 cm 的正方形沿邻边的中点剪开，
侧＝3×12(a＋2a)a＝92a2.故选
C.
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
刷基础
题型2 棱柱、棱锥、棱台的体积
4．[天津 2020 适应性考试]如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积为 36，E 为棱 CC1 上的点，且 CE＝2EC1，
则三棱锥 E－BCD 的体积是( B )
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
刷基础
9.水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，
现有棱长为 2 cm 的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为( A )
A．(12＋4 3)cm2 B．(16＋4 3)cm2 C．(12＋3 3)cm2 D．(16＋3 3)cm2
《棱柱棱锥棱台》课件
棱柱的分类
总结词
根据底面的形状，棱柱可以分为直棱 柱和斜棱柱。
详细描述
直棱柱的底面是矩形或正六边形等， 侧面是垂直于底面的平行线段。斜棱 柱的底面是梯形或平行四边形等，侧 面则是与底面形成一定角度的线段。
棱柱的性质
总结词
棱柱的性质包括底面平行、侧棱平行且相等、侧棱与底面垂 直等。
详细描述
棱柱的底面平行意味着两个底面始终保持平行关系。侧棱平 行且相等指的是棱柱的所有侧棱都是平行的，并且长度相等 。侧棱与底面垂直则说明侧棱始终与底面垂直。这些性质是 判断一个几何体是否为棱柱的重要依据。
总结词
棱台是由平行于棱锥底面的截面截取 棱锥部分而形成的几何体。
详细描述
棱台的定义基于棱锥，通过截取棱锥 的一部分，得到一个多面体，这个多 面体就是棱台。棱台的两个平行的多 边形面称为底面，而其他各面都是有 一个公共顶点的三角形。
棱台的分类
总结词
根据底面的形状，棱台可以分为正棱台和斜棱台。
详细描述
02
棱锥的定义与性质
棱锥的基本定义
总结词
棱锥是由一个多边形和其内部一 点连接而成的几何体。
详细描述
棱锥是一个多面体，由一个多边 形底面和一个顶点组成。顶点与 底面各顶点连接，形成棱锥的侧 棱。
棱锥的分类
总结词
根据底面的形状，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
详细描述
根据底面的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，边数越多，则称为 多边棱锥。
正棱台的底面是正多边形，而斜棱台的底面是等腰或不等腰的梯形。此外，根据顶面的形状，棱台还可以进一步 细分为齐棱台和曲棱台。
棱台的性质
总结词
棱台具有一些独特的性质，如侧面积等 于原棱锥的侧面积减去下底面的面积。
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-高中数学人教A版必修第二册
由题意可得 V2
1 3
S△BCD
CE
1 3
1 2
S
1 3
CC1
1S 18
CC1
V 18
，
则V1 V
V2
17V 18
，故 V1 V2
17 .故选 D.
8.将一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A. 6a2
B. 12a 2
C.18a2
D. 24a2
答案：B
答案：12
解析：设六棱锥的高为 h ，侧面的斜高为 h ，
由题意得 1 6 1 2 3 h 2 3 ，h 1 ， 32
斜高 h'
12 (
3)2
2 ，S侧
6
1 2
2
2
12
.
14.如图，在上、下底面对应边的比为1: 2 的三棱台中，过上底面一边 A1B1 作一个平行 于棱 C1C 的平面 A1B1EF ，记平面分三棱台两部分的体积为V1 (三棱柱 A1B1C1 FEC )， V2 两部分，那么V1 :V2 __________.
解析：原来正方体的表面积为 S1 6a2 ，切割成 27 个全等的小正方体后，
每个小正方体的棱长为
1a 3
，表面积为
6
1 3
a
2
2 3
a2
，
总表面积为
S2
27
2 3
a2
18a2
，
所以增加的表面积为 S2 S1 12a2 .故选 B.
9.将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是
所以 S PBC
3 a2 . 4
因此四面体 P ABC 的表面积 SPABC 4
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝12A1B1＝3
cm，OE＝1AB＝5 2
cm，
∴O1O＝ 142 -5-32 ＝8 3 (cm).
故该正四棱台的体积为 V＝1×8 3
1568
3 ×(62＋102＋6×10)＝ 3
3
(cm3).
例题讲解 LOGO
1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
故侧棱长即为直棱柱的高.
探究新知 LOGO
问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和 顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
探究新知 LOGO
课本P 121-122
祖暅[gèng]原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的 成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础 上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧 洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598 年--1647年）提出上述结论.
(Sh
(S
S'
)h1
)
S' h S S'
1 (Sh (S S' ) S' h) 1 h(S (S S ' ) S'( S S')) 1 (S
3
S S' 3
S S'
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为平行四边形，且其交线平行。
欧式定义完善：
欧氏定义：有两个面为平行且全等多边形、 其他面均为平行四边形的几何体叫棱柱。
完善：有两个面为平行且全等多边形、 其他面均为平行四边形，且其交线平行 的几何体叫棱柱。
平移：将一个图形上所有的点按照某一确定的方
向移动相同的距离就是平移 (1)点平移, 它的移动轨迹是什么？ (2)线段平移所形成的图形是什么？
D
C ①画上底面——画一个四边形；
A
B
②画侧棱——从四边形的每一个顶点
画平行且相等的线段；
D A
C ③画下底面——顺次连结这些线段的
另一个端点.
B
注意:被挡住的线要画成虚线.
数学应用
（2）画一个三棱台
S
A B
A
C C
B
①画一个三棱锥； ②在侧棱上任取一点,从这点开始,顺次在 各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
(12)
问题1 观察下面的几何体，有什么共同特点？
(1)
(2)
(3)
(4)
《几何原本》
欧几里得之棱柱定义
一个棱柱是一个 立体图形，它是有 一些平面构成的， 其中有两个面是相 对的、相等的、相 似且平行的，其他 各面都是平行四边 形。
Wentworth & Smith
(1913)之棱柱定义
有两个面为平行 平面上的全等多边 形、其他面均为平 行四边形的几何体 叫棱柱。
问题3 下面的几何体有什么共同特点？和上面的几何体
对比，前后发生了什么变化？
⑴
⑵
演
⑶
⑷示
棱锥的定义: 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，
得到的几何体叫做棱锥。
顶点:由棱柱的一个
C’
D’
底面收缩而成
S
A’
B’
类比
侧面
底面
C
D 底面 D
C
A
B
棱锥如何分类? 如何表示? A
B
侧棱:相邻侧面的
用顶点和底面表示: 如:四棱锥 S-ABCD
类似地，
(3)一个四边形面（包括其内部） 平移能形成什么？
问题1 观察下面的几何体，有什么共同特点？
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(3)
⑵
⑷
棱柱的概念:
注:多边形包括它的内部
由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体
叫做棱柱.
1731年棱柱之定义
18世纪法国数学家 P.Varignon
若平面直线形（如三角 形ABF)按照平行于自身的方 向 从 点 A 移 动 到 点 C, 则 该 直 线画出一个界于两个相似且 全等的图形CDE和ABF以及所 有 以 图 形 ABF 的 边 为 一 边 的 平行四边形之间的立体CD，
则该几何体称为棱柱.
棱柱的概念:
注:多边形包括它的内部
由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体
叫做棱柱.
底面
侧棱 侧面
平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面； 多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面； 相邻两侧面的公共边叫侧棱.
棱柱的分类和表示：
D’ A’
C’
B’ C
C’
A’ B’
D
A
C
B
பைடு நூலகம்
A
B
Stone & Millis (1916)的欧氏定义反例 Hawkes, Luby&Touton (1922)
棱柱是这样的多面体，它的两个面为 平行平面上的全等多边形，其余各面 均为平行四边形、且有一组对边分别 为这两个全等多边形的对应边。
的欧氏定义反例
棱柱是一个多面体，有两个面位 于两个平行平面上，其余各面均
公共边
问题4 从棱锥的生成过程中, 你们发现棱锥有
什么特点？
棱锥的特征：
顶点 S
①底面是多边形；
②侧面是共顶点的三角形；
③侧棱交于一点.
底面 D
侧面 C
A
B
侧棱
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面
间的部分叫做棱台.
问题5 类比研究棱柱、棱锥的思路，
研究棱台的相关知识。
S
侧面 C
VE A
生活中的数学：
几何的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在。 ——牛顿
空间几何体是由哪些简单几何体组成的？ 如何描述和刻画这些简单几何体的形状和大小的？
构成这些几何体的基本元素之间具有怎样的位置关系？
三棱镜
金字塔
台灯
生活中的数学
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
D BC
底面 D
C
P
A 侧棱 B A
B
棱台的特征：
①两个底面是平行 且相似的多边形, 对应边互相平行；
②侧面是梯形；
③侧棱延长交于一点.
底面
A
S
侧面
D
C
侧棱 B
棱台的概念辨析
下面的几何体是棱台吗？
多面体的定义:
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
食盐晶体
明矾晶体
石膏晶体
数学应用
1、（1）画一个四棱柱
③将多余的线段擦去.
课堂小结
1.棱柱、棱锥、棱台各自的特点. 2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 平面多边形 棱柱 棱锥 棱台
3.运用观察、分析、类比、归纳等方法研究 数学问题 4.基本思想：运动变化的观点、类比、割补思想
操作与探究：
1、 请设计一个平面图形，将其折叠后可 以得到一个每个面都是正三角形的三棱锥。
2、我们把平面图形平移运动得到了棱柱， 再收缩与分割得到了棱锥和棱台，还有 什么运动方式可以得到新的 空间几何体？
谢谢指导！
表示: 用两个底面表示:
(1)四棱柱 ABCD—A’B’C’D’ (2)三棱柱 ABC—A’B’C’
问题2 从棱柱的生成过程中，发现棱柱的 底面、侧面、侧棱各有什么特点？
底面 棱柱的特征：
①两个底面是平行 且全等的多边形, 对应边互相平行；
②侧面是平行四边形；
③侧棱平行且相等.
侧棱 侧面
棱柱的概念辨析 下面的几何体是否是棱柱？