大学物理04第四章

第四章 气体动理论

一、基本要求

1．理解平衡态的概念。

2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。

5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。

6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。

二、基本内容

1. 平衡态

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。

2. 理想气体状态方程

在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式

pV vRT =

或 nkT p =

式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅

3. 理想气体压强的微观公式

21233

t p nm n ε==v 4. 温度及其微观统计意义

温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上

32

t kT ε=

5. 能量均分定理

在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2kT 。以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为

2

t i kT ε=

6. 速率分布函数 ()dN f Nd =

v v

麦克斯韦速率分布函数 23

2/22()4()2m kT m f e kT

ππ-=v v v 7. 三种速率

最概然速率

p ==≈v 平均速率

==≈v 方均根速率

=

=≈8. 玻尔兹曼分布律 平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：

kT mgh e n n /0-=

9. 范德瓦尔斯方程

采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体

RT b V V a p m m

=-+))((2 10. 气体分子的平均自由程

λ=

=11. 输运过程

内摩擦 dS dz du df z 0)(

η-=， 1133

mn ηλρλ==v v 热传导 dSdt dz dT dQ z 0)(

κ-= 13

v c κρλ=v 扩散 dSdt dz d D dM z 0)(

ρ-= 13

D λ=v 三、习题选解

4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。它是否是一个平衡态？为什么？

答：这不是一个热力学平衡态。

平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。

两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断

吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。

4-2 在一个容积为310dm 的容器中贮有氢气，当温度为7C o 时，压强为

50atm 。由于容器漏气，当温度升为17C o ，压强仍为50atm ，求漏掉氢气的质量。

解：设7C o 时的参量为111,,T n P ；17C o 时的参量为222,,T n P

因21P P =，由理想气体的状态方程nkT P =得

2211kT n kT n =

代入K T K T 290,28021==得

036.11221==T T n n 再由111kT n P =，得 32723511110311.1280

1038.110013.150--⨯=⨯⨯⨯⨯=m kT P n 同理可得 327210265.1-⨯=m n

将氢分子质量2H m 与n 相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度

3272711353.41066.1210311.12

--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ 3272722200.41066.1210265.12

--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ 漏掉氢气的质量

()23120.153110 1.5310m V kg ρρ--∆=-=⨯⨯=⨯

4-3 如图所示，两个相同的容器装着氢

气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水

银做活塞，当左边容器的温度为0C o ，而右边

容器的温度为20C o 时，水银滴刚好在管中央

维持平衡。试问： 题4-3图

（1）当右边容器的温度由0C o 升到10C o 时，水银是否会移动？怎样移动？

（2）如果左边温度升到10C o ，而右边升到30C o ，水银滴是否会移动？

（3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？

解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从C ο0升到C ο10时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。

（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以0p 表示左右两侧未升温前的压强，1p 表示升温后左侧压强，2p 表示升温后右侧压强，则

0127310273p p += 0220

27330273p p ++= 可以看出 21p p >

水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。

（3）依条件

27301p T p =左 293

20273002p p T p =+=右 由21p p = 293

273=右左T T 4-4 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体压强随体积的减小而增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大，从微观来看它们有何区别？

解：从分子运动论的观点来看，气体作用在器壁上的压强决定于单位体积内的分子数和每个分子的平均平动动能的乘积，或者说，是大量气体分子与器壁频繁进行动量交换的结果。用公式表示就是

221()32

p n m =v