定积分的分部积分法

2 0 0



I n sin xdx
2 0 n

n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 , n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda


n 1I n2 n 1I n
n 1 In I n2 , 积分递推公式. n
预科部：melinda
I n2
n3 I n4 ,, 直到 I n 的下标 n 递减 n2
2m 1 2m 3 2m 5 5 3 1 ... I 0 2m 2m 2 2m 4 6 4 2
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u u x , v v x
在 a, b 上具有连续导数 u, v, 则
a uvdx uv a uvdx；
b b a b
或
2.说明
a udv uv a vdu


2
4
,t

2
202 t sin tdt

2 02 td cos t
2 2t cos t 0 2 02 cos tdt


预科部：melinda
2 2sin t 0 2

sin t 1 dt ，求 xf x dx . 例3 设 f x 1 0 t 2 2 sin x 2 sin x f x 2 2 x 解 x x 1 sin t f 1 1 dt 0 t 2 1 1 x 0 xf x dx 0 f x d 2
到0或1为止.于是
I 2m
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I 2 m1 ... I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I 0 sin xdx , I1 02 sin xdx 1 2
预科部：melinda
例4 证明定积分公式
I n 02 sin n xdx 02 cos n xdx
n 1 n 3 ... 3 1 ，n为正偶数， n n2 4 2 2 n 1 n 3 ... 4 2 ,n为大于1的正奇数. n n2 5 3
预科部：melinda
二、例题
例1 计算
解
1
0 xe dx .
x x 1
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1
x xe dx x de 0 0
xe
x 1 0
e dx
1 x 0
e e
x 1 0

1
预科部：melinda
例2 计算 4 sin xdx .
0
2
解
0
2
4
sin xdx
t x , dx 2tdt x 0, t 0; x
x2
预科部：melinda
2 1x x f x 0 df x 2 2 0 2
1
f 1 1 x 2 0 f x dx 2 2
1 x 2 sin x 2 0 dx 0 x sin x dx 2 x
1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 1 0 sin x dx cos x 0 cos1 1 2 2 2
b b a b
预科部：melinda
(1)应用分部积分公式不需要变换积分限，对 于不含积分号的 uv 项需将积分上下限代入求 差，另一项
a vdu 仍按定积分继续计算.
b
(2)应用分部积分公式时,被积函数 u 和 v 的选
取与不定积分的方法一样，需注意的是由于求 定积分，应观察积分区间是否关于原点对称， 被积函数是否是奇函数或偶函数，以利用特殊 定积分公式简化定积分的运算.


证 I n sin
2 0

n 1
xd cos x
预科部：melinda
sin
n 1
x cos x n 1 sin
2 0 2 0


n2
x cos xdx
2
n 102 sin n2 x1 sin 2 x dx n 102 sin n2 xdx n 102 sin n xdx