03_02一维单原子链 (1)

原子坐标和简正坐标的变换
m n anjQ j
j 1
3N
—— 有3N个取值
mn anqQq
q
—— 线性变换为么正变换
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
动能和势能的形式
原子位移 为实数 ——
—— N项独立的模式
正交性
动能的正则坐标表示
1 T Q q 2 q
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况
—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致 —— 不同频率的格波传播速度不同
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限下
相邻两个原子振动相位差
—— 晶格可看作是连续介质

—— 恢复力常数
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的运动方程
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
d n m 2 ( n 1 n 1 2n ) dt (n 1, 2, 3 , N )
2
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
的原子不能用中间原子的运动方程来描述
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 —— N很大，原子运动近似为直线运动 —— 处理问题时考虑 到环链的循环性 设第n个原子的位移 再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移
§3-2
一维单原子链 ——
i (t naq)
q
2

波长
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式 —— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动 一个格波是晶体中全体原子都参与的一种简单的集体 运动形式
————
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
n Ae
i (t naq)
—— 简谐近似下，格波是简谐平面波
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
一、物理模型
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
二．选坐标系 • 选第0个原子的平衡位置为坐标原点，第n个原子平衡 时为 X0n＝na, • 它的位移记为 ， 位移后： Xn=na+ • ：第n个原子的绝对位移，向右为正，向左为负。 三．分析受力 近似： • 近邻作用近似：仅考虑最近邻原子间的相互作用； • 简谐近似.

a
—— 第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题 —— 其它区域不能提供新的物理内容
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
六．定解条件―玻恩－卡曼 （Born-Karman）周期性边界条件 目标：求出q=? 因为：
• 晶体的固有热学性质（例如：热容量）应
由晶体的大多数原子的状态所决定； • 边界上的原子数要比内部原子数少很多；
短波极限下
—— 相邻原子的振动相位相反
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移 第n个原子总的位移
令
mn
q
1 inaq e Qq N
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
mn
q
1 inaq e Qq N
—— 格波的波形图 —— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动 —— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波波长
格波波矢
格波相速度
不同原子间相位差
相邻原子的相位差
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
2
势能的正则坐标表示
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
势能
§3-2
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一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
系统势能
将
代入得到
哈密顿量
1 2 U q Q q 2 q
2
2 2 1 2 H T U ( Qq q Qq ) 2 q
Qq Nm Aq e
平衡位置时，两个原子间的互作用势能
发生相对位移 后，相互作用势能
—— 常数
—— 平衡条件
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
相邻原子间的作用力
即在近邻近似和简谐近似条件
下，原子间的相互作用力与相对 位移成正比，满足胡克定律。
这时原子间的相互作用力称为 弹性力或简谐力，β称为弹性系 数，或恢复力系数。
晶格振动与晶体的热学性质
则有 要求
2 q h —— h为整数 Na
波矢的取值范围
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
N N h 2 2
2 h 波矢 q Na
h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值 —— 第一布里渊区包含N个状态
2 每个波矢在第一布里渊区占的线度 q Na
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
—— 相邻原子的相位差取值
波矢的取值

a
q
第一布里渊区的线度
2 a
第一布里渊区状态数
§3-2 一维单原子链 ——
2 / a N 2 / Na
晶格振动与晶体的热学性质
格波的色散关系
aq 2 sin( ) m 2
格波相速度 — 不同波长的格波传播速度不同

色散关系 频率是波数的偶函数
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
色散关系
—— q空间的周期
频率极小值
频率极大值
min 0
max 2 / m
只有频率在
之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减 —— 低通滤波器
ωmax称为截止频率
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况
当
VElasticq
VElastic a / m
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平 衡位置的位移 —— 第n个原子和第n＋1个 原子间的相对位移
第n个原子和第n＋1个原子间的距离
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-2 一维单原子链
绝热近似 —— 用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来 描述电子对离子运动的影响 —— 将电子的运动和离子的运动分开 晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究
—— 先计算原子之间的相互作用力 (受力分析）
—— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程 (列方程）
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
§3-2
i qt
—— 系统复数形式的简正坐标
晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链 ——
—— 实数形式的简正坐标
令
1 2 ( q)] 2 ( q) b T [a 2 q 0
1 2 U q [a 2 ( q) b2 ( q)] 2 q 0
哈密顿量 H
§3-2
1 1 2 2 2 2 2 [ a ( q ) b ( q )] [ a ( q ) b ( q)] q 2 q 0 2 q 0
• 近邻近似。
§3-2
• 这样，就可以以方便为原则来选择边界条
件，而基本上不影响晶体的固有性质。
一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每
个原子的振动形式都一样
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头
晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链 ——
1 能量本征值 nq ( nq ) q 2
本征态函数
n (Qq ) q / exp(
q
2
2
) H nq ( )
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数 声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子 当这种振动模处于 时，说明有 个声子
§3-2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动 —— 声子体系
—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
—— 声子具有能量_动量，看作是准粒子 —— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统
§3-2
§3-2 一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
§3-2
4 2 aq sin ( ) m 2
2
一维单原子链 ——
晶格振动与晶体的热学性质
格波方程 格波的意义
连续介质中的机械波 波数 晶体中的格波
n Ae