3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(4)

例2、已知 、
4 sin α = 5
π ，α ∈ 2 , π
5 , cos β = − , β 13
.
的值. 是第三象限角， 是第三象限角，求 co s (α − β ) 的值
点评： 点评：注意角
α 、β 的象限，也就是符号问题 的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式， 小结：本节我们学习了两角差的余弦公式， 首先要认识公式结构的特征， 首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过 熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过 程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式 在解题过 的象限，也就是符号问题， 程中注意角 、α 的象限，也就是符号问题，学 β 会灵活运用. 会灵活运用
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
C 简记： 简记： (α+β )
公式的结构特征: 公式的结构特征 左边是复角α+β 的余弦 右边是单角 的余弦,右边是单角 右边是单角α、β 左边是复角 的余弦积与正弦积的差. 的余弦积与正弦积的差 将 β 替换为 − β
cos( α − β ) = cos( α + ( − β )) = cos α cos( − β ) − sin α sin( − β ) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβ
简记： 简记：C(α−β ) 公式的结构特征: 公式的结构特征 左边是复角α+β的余弦 右边是单角 的余弦,右边是单角 左边是复角 的余弦 右边是单角α、β 的余弦积 与正弦积的和. 与正弦积的和
:
1.( (12–5√3) ／26 ) ; 2. ( √3 ／2 ) ; 3. ( A ).
小结
• 1.cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsin β cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsin β • 2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值, 利用公式可以求 利用公式可以 非特殊角的三角函数值 化简三角函数式和证明三角恒等式 三角函数式和证明三角恒等式。 化简三角函数式和证明三角恒等式。使用 公式时要灵活使用， 公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向 使用. 使用
cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ
证明: 证明 如图所示
在平面直角坐标系xOy内,作单位圆 并作 内 作单位圆 作单位圆,并作 在平面直角坐标系 α 、 β 和–β角,使α角的始边为 ，交圆 于P1, 角的始边为Ox，交圆O于 角 使 角的始边为 终边交圆O于P2;β角的始边为 2,终边交圆 于 终边交圆 于 角的始边为OP 终边交圆O于 角的始边为 终边交圆 P3; – β角的始边为 1,终边交圆 于P4; 角的始边为OP 终边交圆 终边交圆O于 角的始边为
例5.cos25 °cos35 °– cos65 °cos55 °
的值等于( 的值等于
(A) 0 (B) 1／2 ／
).
(D)–1／2 ／
(C) √3／2 ／
原式=cos25 解: 原式=cos25 °cos35 °–sin25 ° sin35 ° =cos(25 ° +35 °) =cos60 ° =1／2. ／ 故选: ( B ) 故选
两角和与差的余弦公式： 两角和与差的余弦公式：
cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β
应用举例
不查表, cos(–435 435° 的值. 例1.不查表,求cos( 435°)的值.
解:cos(– 435 °)=cos75 ° =cos(45 ° +30 °) =cos45 ° ·cos30 ° –sin45 ° ·sin30 °
2 3 2 1 = • − • 2 2 2 2
= 6− 4 2
练习
不查表, 不查表,求cos105 °和cos15 ° 的值. 的值.
2− 6 答案： 答案：cos105°= ° 4 2+ 6 cos15 °= 4
2 π 3 例2、已知 sin α = , α ∈ ( , π ), cos β = − , 3 2 4 3π β ∈ (π , ), 求 cos(α + β ), cos(α − β ) 2 2 π 解： sin α = , α ∈ ( , π ) ∵ 3 2
第三章 三角恒等变换 3.1.1.两角和与差的余弦公式 3.1.1.两角和与差的余弦公式
（一）导入：我们在初中时就知道 导入：
2 cos45 = 2
，
cos 30 =
3 2
，
由此我们能否得到
大家可以猜想，是不是等于 cos 45 − cos 30 呢? 大家可以猜想， 根据我们在第一章所学的知识可知 我们的猜想是错误的！ 我们的猜想是错误的！ 下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
4 2 7 2 ∴ sin β = − 1 − cos β = − 4 ∴ cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = 3 5 + 2 7 12 3 5 −2 7 ∴ cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = 12
5 ∴ cos α = − 1 − sin α = − 3 3 3π ∵ cos β = − , β ∈ (π , )
2
例3.已知cos(α–30 °)=15/17, α为大于 已知 为大于
30 °的锐角 求cos α的值 的锐角,求 的值. 的值
分析： 分析： α=(α– 30 °)+ 30 ° 解：∵ 30 °＜ α ＜90 ° , ∴ 0 ° ＜ α – 30 ° ＜60 °, 由cos(α – 30 ° )=15／17,得sin (α – 30 ° )=8／17, ／ 得 ／ ∴cos α=cos[(α – 30 ° )+ 30 °] = cos(α – 30 ° )cos 30 ° – sin (α – 30 ° )sin 30 ° = 15／17 × √3／2 – 8／17 × 1／2 ／ ／ ／ ／ =（15 √3 – 8）／ （ ）／34. ）／
cos15 = cos ( 45 − 30 ) = ?
cos (α − β
)= ?
（二）探讨过程： 探讨过程： 在第一章三角函数的学习当中我们知道， 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设 cos 角 α 的终边与单位圆的交点为 P1 ， α 等于 与单位圆交点的横坐标， 角 α 与单位圆交点的横坐标，也可以用角 α 的 余弦线来表示，大家思考： 余弦线来表示，大家思考：怎样构造角 β 和
α − β 角？
（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.） 注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来 ）
思考：我们在第二章学习用向量的知识解 思考： 决相关的几何问题， 决相关的几何问题，两角差余弦公式我们 能否用向量的知识来证明？ 能否用向量的知识来证明？ 提示： 、结合图形， 提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个 向量，它们是怎样表示的？ 向量，它们是怎样表示的？ 2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公 、 式得到探索结果？ 式得到探索结果？ 展示多媒体课件 比较用几何知识和向量知识解决问题的不 同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 同之处，体会向量方法的作用与便利之处
（三）例题讲解 的值. 例1、利用差角余弦公式求 cos15 的值 、
2 3 2 1 6+ 2 cos15 = cos( 45 −30 ) = cos45 cos30 +sin45 sin30 = × + × = 2 2 2 2 4
点评：把一个具体角构造成两个角的和、 点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形 有很多种构造方法，例如： 式，有很多种构造方法，例如： cos15 = cos ( 60 − 45 ) ，要学会灵活运用. 要学会灵活运用
例4.在△ABC中,cosA=3／5,cosB=5／13, 在 ABC中,cosA=3／5,cosB=5／
则cosC的值为( cosC的值为( 的值为
33／65 ). ／
分析: 分析 ∵C=180 °–(A+B) ∴cosC=–cos(A+B)= – cosAcosB+sinAsinB 已知cosA=3／5 ,cosB=5／13,尚需求 已知 ／ ／ 尚需求 sinA,sinB的值 的值. 的值 sinB=12／13, ∵sinA= 4／5 , ／ ／ ∴cosC=–3／5 × 5／13 + 4／5 × 12／ ／ ／ ／ ／ 13=33／65. ／
课 堂 练 习
1.已知cosθ=–5 θ∈(π,3π／ 1.已知cosθ= 5／13, θ∈(π,3π／2) 已知cosθ= cos(θ+π／6)的值 的值. 求cos(θ+π／6)的值. sin²15 ----------。 2.cos ²15 °–sin 15 °= ----------。 15 sin 3.在 ABC中 3.在△ABC中,若sinAsinB=cosAcosB,则 sinAsinB=cosAcosB,则 ABC是 △ABC是 ( ). (A)直角三角形 (A)直角三角形 (C) 角三角形 (B)钝角三角形 (B)钝角三角形 ( ) .
不查表， cos（ 435 的值. 不查表，求cos（ –435°） 的值
解：cos(–435 ° ) =cos435 ° =cos(360 ° +75 °)=cos75 ° 1. 75 °能否写成两个特殊角的和或差的形式 能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos75 ° =cos(45 ° +30 °)=cos45 ° +cos30 ° 成立吗? 成立吗 3. 究竟 究竟cos75 ° =? 4. cos (45 ° +30 °)能否用 °和30 °的角的 能否用45 能否用 三角函数来表示? 三角函数来表示 5. 如果能 那么一般地 如果能,那么一般地 那么一般地cos(α+β)能否用 、β的 能否用α 能否用 的 角的三角函数来表示? 角的三角函数来表示
y
P
3
P
2
此时,P1.P2.P3.P4的坐标分别为 1(1,0) , 的坐标分别为P 此时 P2(cosα,sinα), P3(cos(α+β),sin(α+β) ), P4(cos(–β), sin(–β)).
P1
O
XБайду номын сангаас
P4
及两点间距离公式, 由︱P1P3 ︱= ︱P2P4︱及两点间距离公式 得： [cos(α+β)–1]²+sin²(α+β)=[cos(–β)–cosα]²+[sin(–β)–sinα] ². 整理得: 整理得 cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ.