-三重积分的计算

上式记成
f (x ,y z, )xdy dz d
x yd dz2 (x y,
)
f
x y z(
,z ．, ) d( 1 0 . 4 . 1 )
Dxy
z1 ( x y, )
？-3
例 10.4.1 计算三重积分 zdxdydz ，其中 是由平面 z 1 y ， z 2 y
和圆柱面 x2 y2 1所围的空间有界闭区域．
解 如图 10-4-3 所示， 在 xOy 坐标面上的投影区域
Dxy 为 x 0, y 0 和 x y 1所围成的三角形区域： 0 y 1 x,0 x 1 ，
且 的下底为 1 ： z 0 ，上顶为 2 ： z 1 x y ，
则
{(x, y, z) | 0 z 1 x y,0 y 1 x,0 x 1}．
z2 (x,y) f (x, y, z)dz ．
c
x1( y)
z1( x, y)
(10.4.3)
这就是三重积分的三次积分法．
需要指出的是，如果平行于 z 轴且穿过区域 的直线与边界曲面的交点
多于两个，则将 分成若干个子区域，使得平行于 z 轴且穿过每个子区域
的直线与其边界曲面的交点不超过两个，再计算每个子区域上的三重积分，
最后， 上的三重积分即为各子区域上的三重积分之和.
根据对变量 x, y, z 的不同积分次序，共有3! 6种方式（参见教材）． 其中式(10.4.2) 和 (10.4.3) 较为常用．
？-6
例 10.4.2 计算三重积分 xdxdydz ，其中 是由三个坐标面与平面
x y z 1所围成的闭区域．
㈡ 三次积分法 在式(10.4.1) 中，如果 Dxy 为 x 型区域，即 Dxy 可表示为
y1(x) y y2 (x), a x b ，
此时， {(x, y, z) z1(x, y) z z2(x, y), y1(x) y y2(x), a x b}，
则有
f (x, y, z)dxdydz
解 如图 10-4-4 所示， 可表示为 {(x, y, z) | y z 6 x2 y2,0 y 2,0 x 1}，
4
故所求体积为
1
2
6x2 y2
V dxdydz 0 dx0 dy y dz
4
1
dx
2
(6
x2
y2
y ) dy
1 53 (
2x2 )dx
49
．
0
0
( 3 y)dxdy ．
1 y Dxy
2 Dxy
由二重积分的奇偶对称性知， ydxdy 0 ，故
Dxy
zdxdydz 3 dxdy 3 dxdy 3 π ．
2 Dxy
2 Dxy
2
？-4
这就是三重积分的先一后二计算方法．除了上式外，还有先对x 计算 定积分，后对 y, z 计算二重积分，以及先对 y 计算定积分，后对x, z 计算 二重积分的计算方法．
超过两个，则可将 投影到 xOy 坐标面上，得投影区
域 Dxy ，如图 10-4-1．再以 Dxy 的边界曲线为准线，作母线平行于 z 轴的柱
面，此柱面将曲面 分成下底、上顶和侧面三个部分，设下底和上顶的
方程分别为
1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y) ，
其中 z1(x, y), z2 (x, y) 均为 Dxy 上的连续函数，且 z1(x, y) z2 (x, y) ．
10.4 三重积分的计算
10.4.1 利用直角坐标计算三重积分 10.4.2 三重积分的换元法 10.4.3 利用柱面坐标计算三重积分 10.4.4 利用球面坐标计算三重积分
？-1
10.4.1 利用直角坐标计算三重积分
㈠ 先一后二法
如果空间有界闭区域 具有下述特点：穿过 的
内部，且平行于 z 轴的直线与 的边界曲面 的交点不
于是 可表示为
{(x, y, z) z1(x, y) z z2(x, y), (x, y) Dxy} ．
？-2
{(x, y, z) z1(x, y) z z2(x, y), (x, y) Dxy}
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我们先对任意固定的点(x, y) Dxy ，在区间[z1(x, y), z2 (x, y)] 上，以 z 为
b
dx
y2 (x) dy
z2 (x,y) f (x, y, z)dz ．
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
(10.4.2)
？-5
同理，如果 Dxy 为 y 型区域： x1( y) x x2 ( y), c y d ， 则有
f (x, y, z)dxdydz
d
dy
x2 ( y) dx
所以由式 (10.4.2) ，
xdxdydz
1 1x
dx dy
1x y
xdz
1
dx
1x x(1 x y)dy 1
1 x(1 x)2dx 1 ．
0
0
0
0
0
20
24
？-7
例 10.4.3 求 由 抛物 面 x2 y2 6 z, 平 面 y 4z, x 1, y 2 及 坐 标 面 y 0, x 0所围立体的体积V ．
解 如图 10-4-2， 在 xOy 坐标面上的投影区域为
Dxy ： x2 y2 1．
且下底为 1 ： z 1 y ，上顶为 2 ： z 2 y ，
所以
{(x, y, z) 1 y z 2 y, (x, y) Dxy}．
由式(10.4.1) ，
zdxdydz
2 y
dxdy zdz
4
06
6
？-8
㈢ 先二后一法
y
为积分变量计算二重积分
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy ． z1 ( x, y) Dxy
可以证明，如果 f (x, y, z) 在 上连续，则有
f (x, y, z)dxdydz [ z2(x,y) f (x, y, z)dz]dxdy ．
Dxy z1 ( x, y)
积分变量，计算定积分
z2 ( x, y) z1( x, y)
f
(x,
y,
z)dz
．当点 ( x,
y) 在
Dxy
上变动时，积分
z2 (x,y) z1( x, y)
f
(x,
y, z)dz 是
Dxy 上 x,
y
的二元函数．
然后再将
z2 ( x, y) z1( x, y)
f
(x,
y,
z)dz
在
Dxy
上以 x,