12 集合之间的关系含答案

【课堂例题】

例１．设,,A B C 是三个集合,若A B ⊆且B C ⊆,试证A C ⊆.

例2．试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由.

(1)∅ {|23}x x -<<-；

（2){|5}x x > {|6}x x >;

(3）{|n n 是１2的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}；

(４){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z +

=∈.

例3．求出所有符合条件的集合C

(1）{1,2,3}C ⊆;

(2){,}C

a b ;

(3){1,2,3}{1,2,3,4,5}C ⊆.

（选用）例４.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被４除余3的整数}，判断,A B 之间的关系并证明之.

.

【知识再现】

1.对于两个集合A 与B ,

(1）如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集,记作＿_______或＿＿_____＿,读作 或者＿___＿___________＿;

(2)如果A 是B 的子集并且_＿＿＿_______＿____＿__＿____＿__＿____＿__，那么集合A 与集合B 相等,记作 ;

(3）如果A 是B 的子集并且_____＿_＿_________＿__＿＿____＿＿_＿_____，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作______＿___＿_或＿_＿__＿＿_＿＿___＿.

2.空集∅是_____＿__＿___＿____＿的子集；空集∅是_______＿_＿_＿_＿__＿_的真子集.

【基础训练】

1.(1）下列写法正确的是（ )

(A ）{0}∅ （Ｂ)0∅ (C){0}∅∈ （D)0∈∅

(2)下列四个关于空集的命题中：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集；④若A ⊂∅≠，则.A ≠∅ 其中正确的个数是( ）

（Ａ)0 (B)1 (C ）2 （D)3

２．用恰当的符号填空(,,=⊆⊇)

（1){1,3,5} {5,1,3}； （2){|(3)(2)0}x x x -+= 3{|

0}3x x x -=+; （3){|2}x x > {|2}x x ≥； （4){|,}2

n x x n Z =∈ 1{|,}2

x x n n Z =+∈. 3．(1)已知2{,}{2,2}x y x x =，则x = ,y = ．

(2）2{1,3,}{1,}x x ⊇，则实数x ∈ ．

４.指出下列各集合之间的关系，并用文氏图表示：

{|A x x =是平行四边形},{|B x x =是菱形},

{|C x x =是矩形}，{|D x x =是正方形}

５．类比“⊆”、“⊂≠”的定义，请给出符号“⊆”的定义：

如果 ，则称集合A 不是集合B 的子集，用符号“A B ⊆”表示，读作“A 不包含于B ”.

6.已知集合M 满足{0,1,2,3,4}M ⊆且{0,2,4,8}M ⊆，

写出所有符合条件的集合M .

7．已知2{1},{|30}A B x x x a ==-+=,

①若A B ，求实数a 的值；②是否存在实数a 使得A B =？

【巩固提高】

８.已知2{0,,}{,

,1}b a a b a a

+=,求实数,a b .

９.已知集合2{|60}M x x x =+-=，关于y 的方程20ay +=的

解集为N ，且N M ⊆，求实数a 的值．

（选做)１0． 已知集合1{|,},6

P p p n n Z ==+

∈ 11{|,},{|,}2326

m s Q q q m Z R r r s Z ==-∈==+∈, 判断集合,,P Q R 之间的关系并证明.

【温故知新】

１1.用列举法表示“ｍathematic ｓ”中字母构成的集合;

用描述法表示集合{2,2,6,10,14,18,}-.

【课堂例题答案】

例1.证:任取x A ∈,因为A B ⊆，所以x B ∈，因为x B ∈且B C ⊆，所以x C ∈，因此A C ⊆ 证毕.

例２.,,,=⊇⊆⊆

例3．（1),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}∅

(２),{},{}a b ∅

(3）{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,4,5}

【知识再现答案】

１.(1)若集合A 中的任意元素都属于集合B ,,A B B A ⊆⊆,A 包含于B ,B 包含于A

(2)B 是A 的子集，A B =

(3)B 中至少有一个集合不属于A ，A

B B A ， ２.任何集合;任何非空集合.

【习题答案】

１.,A B

2.,,,=⊇⊆⊇

３．（1)

1,12；

(2){ 4.,D C A D B A

5.集合A 中至少有一个元素不属于集合B

6.,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4}∅

7.2a =,不存在

8.1,0a b =-=

9.2{0,1,}3

a ∈-

１0.P Q R =

证明: 613231{|,},{|,},{|,}666

n m s P p p n Z Q q q m Z R r r s Z +-+==

∈==∈==∈ 任取x P ∈，613(21)266

n n x ++-==，所以x Q ∈，因此P Q ⊆； 任取x Q ∈,323(1)166

m m x --+==,所以x R ∈,因此Q R ⊆; 任取x R ∈,313(1)266

s s x ++-==，所以x Q ∈，因此R Q ⊆; 因此P Q R ⊆= D C B A