高考圆锥曲线之动弦过定点的问题
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题型三：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。
例题4、已知椭圆C ：222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>2
，且在x 轴上的顶点分别为
A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率2
c e a
=
=
2a =,则得1c b ==。
从而椭圆的方程为
2
2
14
x
y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，
由122
(2)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x - 和是方程的两个根，
2
1121
164214k x k
-∴-=
+
则2
112
1
2814k x k -=
+，112
1
414k y k =
+，
即点M 的坐标为2
112
2
1
1
284(
,
)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
82
4(
,
)1414k k k k --++
12(2),(2)p p y k t y k t =+=-
1212
2k k k k t
-∴
=-
+，
直线MN 的方程为：
1211
21
y y y y x x x x --=
--，
∴令y=0，得2112
12x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又2t > ，∴402t <
<
椭圆的焦点为0)
4t
∴=
3
t =
故当3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。
方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222
121(14)161640k x k x k +++-=的一个
根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：2
112
1
2814k x k
-=
+，
再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：1121
414k y k
=
+；
其实由22
2
(2)44
y k x x y =-⎧⎨
+=⎩消y 整理得222
222(14)161640k x k x k +-+-=，得
到
2
2222
164214k x k
-=
+，即2
2222
8214k x k
-=
+，2222
414k y k
-=
+很快。
不过如果看到：将2
112
1
164214k x k --=
+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，
就得点N 的坐标2
22
2
2
22
82
4(
,
)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样
真容易出错，但这样减少计算量。
本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到
12122k k k k t
-=-
+，由直线MN 的方程
1211
21
y y y y x x x x --=
--得直线与x 轴的交点，即横截
距2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化
简易得4x t
=
，由
4t
=
3
t =
，到此不要忘了考察3
t =
是否满足2t >。
另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F ，求出t 值。
例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。
解（I ）由题意设椭圆的标准方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
3,1a c a c +=-=，2
2,1,3a c b ===