《数学物理方程》试卷A

华南理工大学 广州汽车学院 2009——2010学年度第二学期期末考试

《数学物理方程》试卷A

考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚；

2．本试卷共六个大题，满分100分，考试时间120分钟；

一．单项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

1．下列关于x 的函数，对于不同的正整数n ，所形成的函数系列不是正交为 （ ）

A ．cos , 0

B .(), x>0n J x

C . (), -1

D . sin , 0

2．下列式子不正确的是 （ ） A ．(1)1n P = B . 1(0)0P =

C . (0)0n J =

D . '01()()J x J x =-

加一题：下列方程适合那种方法求解，P75，对x ，t 做傅里叶变换，

对x,t 做拉普拉斯变换

加一大题：拉普拉斯变换求偏微分方程 3．对于自变量,0x y -∞<<+∞>，不适合用行波法求解的方程是（ ）

A .22220u u

a y x

∂∂-=∂∂ B . 220u u

b y x

∂∂-=∂∂ C . 20u x y ∂=∂∂ D . 22222960u u u y x y x

∂∂∂-+=∂∂∂∂

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分

得分 评卷人

序号 姓名 系别 班级

…………………………………….密

…………..…….………….…………………封

……………..………………线

…………………………………………………………

4．下列哪个不是关于u 的齐次方程 （ ）

A . 2222u u

a u x t

∂∂=+∂∂ B .

2211()0u u ρρρρρθ∂∂∂+=∂∂∂

C .

22211()(sin )()sin u u

r r r r r θδρθθθ

∂∂∂∂+=-∂∂∂∂ D . 22u u

a xu x t

∂∂=+∂∂

5．下列哪个方程是勒让德方程 （ ）

A . '''22

()0xy xy x n y ++-= B . 2'''

(1)2(1)0x y xy n n y --++=

C .

22211()(sin )0sin u u

r r r r θρθθθ∂∂∂∂+=∂∂∂∂ D . 21(1)d dR r n n R dr dr ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

二、（15分）若(),()F z G z 是任意两个二次连续可微函数，证明

()()u F x at G x at =++- 满足方程2222u u

a t x

∂∂=∂∂。

三、求解下列定解问题（10分）

2

2200(),|, |,|().x x l t u u

a f x t x u A u B u g x ===⎧∂∂=+⎪∂∂⎪⎪

==⎨⎪=⎪⎪⎩

0,00,B 0x l t t A x l <<>≥≤≤、为常数

四、求下列柯西问题的解（15分）

2222220

0230, 0,|3, |0.

y y y u u u

y x x x y y u x u x ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞

⎪∂∂∂∂⎨

⎪==-∞<<+∞⎩

五．（10分）证明

1

u

r

=是Laplace方程

222

222

u u u

u

x y z

∂∂∂

∆=++=

∂∂∂

的解（这个解称为基本解），其中r=。六．（10分）1．描述贝塞耳函数零点的性质.

七．（10分）证明()n y xJ x =是方程2'''22

(1)0x y xy x n y -++-=的

解。

八. （10分）用Laplace 变换求方程''2''sin ,(0)(0)0x a x at x x +===的解。

附：拉普拉斯变换对

()12(1)()()[(0)'(0)(0)]n n n n n f t p F p p f p f f ---↔-++…+

22222

111,,cos ,sin p k t kt kt p p p k p k ↔

↔↔↔++22

22222

2sin , cos ()

pk p k t kt t kt p k p k -↔↔++