第三讲平面的投影及平面上的点和直线

A b a 投影特性 1.
a
C
c
c
b
c
a
abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形
2. 不反映、、 的真实角度
1.5.3
1. 平面上取直线和点
平面上的点和直线
（1） 平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通 过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
b
BE
d a e
be
c α
e a d
c
b
例：求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
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最大斜度 线实长
最大斜度线 水平投影
b
d
k
1
c
e
a
X c
O a
1 d b k e
2. 平面上的特殊位置直线
V
PV
P
水平线
PH H
正平线
（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的 投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关 系。
例8
过点A 作EF 线段的垂线AB。
b
f
e
a
O
X e b a
f
例9 求点E 到水平线AB的距离。
e’
d’
a’
b’
X
d a
O
b
yD-yE
e
所求距离
1.5 平面的投影
1.5.1 平面的表示法
1. 几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
例13 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线， 过点A作属于该平面 的水平线。
b
m
a n c b
n
m c
a
例14 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10， 试求点E的投影。
b
m
a
X 10
r
e
n
15
s c b n
r
e m a
s
c
二、平面内对投影面的最大斜度线。
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平面内对投影面的最大斜度线用于
一般位置平面对投影面倾角的求法
平面P对水平面H 的最大斜度线 Ｍ A Ｎ
1
Ｂ1
a
Ｂ PH
求一般位置平面对H面倾角
1.作平面内的水平线；
2.作对H面的最大斜度线； 3.用直角三角形法求最大斜度线对
H面的倾角。
例15 求 ABC平面与水平投影面的夹角α 。
c
b c
B
b
a
C
c
W b
b
a H c c
a
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
正平面 V b a B A C b b a W c c a
c
b
a
c
b a c b a
c
H
投影特性： 1. abc 、 abc 积聚为一条直线，具有积聚性 2.正平面投影abc反映 ABC实形
b
c a

Q
C H a
c
b 投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
正垂面的迹线表示
V QV QV W Q γ
α
H
侧垂面 b b c a W c a β c α a
平面内垂直于该投影面内任意一条投
影面平行线的直线，称为平面内对相应投影
面的最大斜度线。
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平面内对投影面的最大斜度线有三种
１.垂直于平面内水平线的直线，是平面
内对水平面的最大斜度线。
２.垂直于平面内正平线的直线，是平面
内对正平面的最大斜度线。
３.垂直于平面内侧平线的直线，是平面
内对侧平面的最大斜度线。
V
S B SW b
C A H
b
c
a 投影特性：1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
侧垂面的迹线表示 Z
V
S
SH W
β
SH
X
O
α
Y
H
YH
水平面 V a A a b c b a
2. 平面的迹线表示法
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面 用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1. 几何元素表示法 b a a c b b c a b c c b a a c b b b
c
a a源自文库
c c d b b d c c
a
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
B E D C
F
d
a
a
c
A
d
b
f e
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经 过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
（2）
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
例11 已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。 （2）已知平面上一点E的正面投影e’作出水平投影。
B
A
W a
a b H

c
C PH c

b 投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线 2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
铅垂面迹线表示
V P W
PV
PW

PH H PH

正垂面
V QV a c A B W a α b b c
侧平面 V c B b W A a b C c H c 投影特性： 1. abc 、 abc 积聚为一直条线，具有积聚性 2. 侧平面投影abc 反映 ABC实形 c c a b b a a c b
b a a
一般位置平面
b b
b a c
a
B
b
a c
（2） 平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助 线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问 题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点 和直线的投影；完成多边形的投影。
（1）
平面上取直线
b
e
f c
a
a
2. 迹线表示法 Z
PZ
Z
PZ PV PW PW
PV
X
PX
O PH
PY
X
PX
O
PH
PYW YW
Y
YH PYH
1.5.2
1.投影的垂直面 (1) 铅垂面 (2)正垂面
各种位置平面的投影特性
(3)侧垂面
2.投影的平行面 (1)水平面 (2)正平面 (3)侧平面
3.一般位置平面
铅垂面 V P a c a b b c