《整式的乘法》教学设计

《整式的乘法（复习）》教学设计

【教学要求】

1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算。

2. 掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会整式的乘法运算。

3. 会由整式的乘法推导乘法公式，并能运用公式进行简单计算。

4. 理解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，

5. 会用提公因式法、公式法、分组法、十字相乘法进行因式分解（指数是正整数）。

教学过程：

1. 正整数幂的运算性质：

（1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加。即：a a a m n m n ·=+（m 、n 均为正整数）

（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。即：()a a m n m n

=·（m 、n 均为正整数）

（3）积的乘方：等于各因数的乘方之积。即：()a b a b m m m ·=（m 为正整数）

注：①用同底数幂的乘法法则，首先要看是否同底，底不同，就不能用。只有底数相同，才能指数相加。

如：a a 23·中底数a 相同，指数2和3才能相加。

②同底数幂的乘法法则要注意指数是相加，而不是相乘，不能与幂的乘方法则中的指数相乘混淆。 ③同底数幂乘法法则中，底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个式子，如：单项式、多项式等。

如：()()()()x y x y x y x y --=-=-+23235·，其中x y -是一个多项式。

④同底数幂乘法法则中，幂的个数可以推广到任意多个数。

如：()()()()()a b a b a b a b a b +++=+=+++23523510··

⑤要善于逆用积的乘方法则，有时可得不错结果，可使计算简便。 如：8122178122171110101010⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪==·

⑥在计算中要注意符号的变化，如：()-a 43

与()[]-a 43

的符号有区别。 ⑦在进行幂的乘方时，要分清底数、指数，然后用法则。

2. 整式的乘法：

（1）单项式与单项式相乘

单项式与单项相乘，只要将它们的系数相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。

注：在进行单项式乘法时，可分别按系数各单项式中都含有的字母进行计算，有乘方的要先算乘方。

如：()--⎛⎝ ⎫⎭⎪313232

x y xyz xy ··

()()

=-=-⨯⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2719

271936322

623296x y xyz x y x x x y y y z x y z ·········

（2）单项式与多项式相乘

单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得积相加，用式子表示如下： ()m a b c ma mb mc ++=++（其中a 、b 、c 、m 都是单项式）

注：单项式与多项式相乘的关键是转化，即运用乘法对加法的分配律将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，计算时要注意符号。

如：()---2322x x x

()()=-----=-++22322264232x x x x x x x x

··· （3）多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，用式子表示如下：

()()a b m n am an bm bn ++=+++

注：a. 进行多项式乘法的关键是两次转化：第一次是把其中一个多项式看作一项，运用分配律将多项式乘法转化为单项式乘以多项式。第二次是将单项式乘以多项式转化为单项式乘法。

b. 多项式乘法计算时注意不能漏项。

c. 多项式乘法计算时要注意符号，是同类项的一定要合并，最后对结果按某个指定的字母进行升（降）幂排列。

3. 乘法公式：

（1）平方差公式：()()a b a b a b +-=-22，即两数和与它们的差的积等于这两数的平方差。

注：a. 运用平方差公式的关键是正确识别两数（或式），即看是哪两个数（或式）的和与差的积。 如：()()---m m 11可以写成()[]()[]

---+m m 11

b. 在平方差公式()()a b a b a b +-=-22中，字母a 、b 可以表示具体的数（正数、负数）、字母、单项式，也可以表示一个多项式，只要式子符合公式的结构特征，或变形后符合公式的结构特征，就可以运用公式进行计算。

如：()()a b c a b c +--+

()[]()[]

()=+---=--a b c a b c a b c 22

（2）完全平方公式：

()a b a ab b ±=±+2222，即两数的和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍。

注：a. 在运用完全平方公式时要注意符号与项数，不要漏掉中间的乘积项。

b. 三项式的平方，也可以写成两项和与第三项和的完全平方。

如： ()a b c +-232 ()[]=+-a b c 232

()()=+-+-a a b c b c 22

22323 c. 在综合运用公式时，要分清不同的公式的结构特征和不同的计算结果。

4. 因式分解：

（1）因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。

（2）公因式：多项式中各项都含有公共因式。

注：找公因式方法：a. 系数部分要提出各项系数的最大公因数。

b. 字母部分要找出相同字母。

c. 指数部分要找出相同字母的最低次幂。如：7282332x y x y -中公因式为722x y 。

（3）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种方法叫做提公因式法。

如：()ma mb mc m a b c ++=++

注：a. 当多项式的首项系数为负数，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，且要注意括号内其他各项的变号。如：()-+=--55532a ab a a b 。

b. 当公因式是多项式时，引入“整体”概念，只要把这个多项式看成一个“整体”或一个字母，按照提字母公因式一样提出即可。如：()()()()2323a b c b c b c a +-+=+-。

c. 有时需要对多项式的项进行适当的变形之后才能提公因式，这时要注意各项的符号变化。 如：()()()()()()62262226x x x x x x x x -+-=---=--

（4）公式法：

平方差公式：()()a b a b a b 22-=+-

完全平方公式：()a ab b a b 22

2±+=±2 注：a. 用公式法因式分解时，关键是掌握公式的结构特征。

b. 两种方法的综合运用是难点：一般情况下是先考虑是否可提公因式，然后，再运用公式法，要求分解时要分解到不能分解为止。分解之后，有时要合并同类项，即“一提，二套，三化简”。如：()()()282422232x x x x x x x -=-=-+。

另外补充两种因式分解方法：

（1）十字相乘法：()()()x a b x ab x a x b 2+++=++

（2）分组分解法：四项式：二二分组或三一分组，分组后能提公因式继续分解，或分组后用公式，最终达到将四项式最后写成几个整式积的形式。

如：x x 256++ ()=+++⨯x x 23232

()()=++x x 32 ()()

()()()

()()x y ax ay

x y ax ay x y x y a x y x y x y a 2222-++=-++=+-++=+-+