向量及向量的基本运算

向量及向量的基本运算

【知识点精讲】

1）向量的有关概念

①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意与0的

区别>

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。

2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

3)向量的减法

① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0

； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求

两个向量差的运算，叫做向量的减法。

b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a

⋅=λλ；

（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a

的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理

向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。

6)平面向量的基本定理

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

7)特别注意:

（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置

有关。

【例题选讲】

例1、判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)==则

(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；

(7)若b a //，c b //，则c a // (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A

(9)已知A （3，7），B （5，2），将按向量a =（1，2）平移后得到的向量B A ''的坐标为（3，－3）

(10）b a =的充要条件是||||b a =且b a //；

解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若=，则不共线的向量,

也有//a ，//。(8) 不正确, 如图≠=,A （9）不正确，∵=（1，2），∴平移公式是⎩⎨⎧+='+='2

1y y x x ，将A （3，7），B （5，2）分别代入可求得)4,6(),9,4(B A ''，故B A ''=（6,4）－（4,9）=（2,－5）。

（10）不正确，当b a //，且方向相反时，即使||||b a =，也不能得到b a =；

[点评]正确理解向量的有关概念

例2: 已知G 是△ABC 的重心，求证：0 =++ 证明：以向量GC GB ,为邻边作平行四边形GBEC ，则2==+，又由G 为

△ABC 的重心知GD AG 2=，从而GD GA 2-=，∴022 =+-=++GD GD GC GB GA 。

说明：此题也可以用向量的坐标运算进行证明。

练习：如图平行四边形ABCD 的对角线OD,AB 相交于点C ，线段BC 上有一点M 满足BC=3BM,线段CD 上有一点N 满足CD ＝3CN,设b ,,,,表示试用== 解：()()b a OB OA BA BM BA BC BM -=-==∴==6

16161,6131 6561+=+=∴ . OD CD ON CD CN 3

234,31==∴= ()()

+=+==∴323232 6121-=-=∴ [点评]根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示

例3（同课本）：设OB 、OA 不共线，点P 在AB 上，求证：R ,1∈=+μλμλμλ、且。

解题过程请参考课本。

变一：设OB 、OA 不共线，R ,1∈=+μλμλμλ、且＋，求证：A 、B 、P 三

点共线。

说明：当21==μλ时，(2

1＝，此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式。