常系数非齐次线性微分方程

所求通解为
x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
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思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
y* x (a x b) cos x (cx d )sin x
时可设特解为
y* (a x b) cos 2 x (c x d ) sin 2 x k e 2 x
( p, q 为常数 )
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* x e
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
k x
~ Rm cos x Rm sin x
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例1. 的一个特解 . ~ 解: 本题 0, 2, Pl ( x) x, Pn ( x) 0, 特征方程 r2 1 0
于是求得一个特解
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例2. 解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 代入方程:
6 b cos 3 x 6a sin 3 x
比较系数, 得 因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3 sin 3x )
第七章 第八节 常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x) e x Pm ( x) 型 二、 f ( x) e x [ Pl ( x) cos x ~ Pn ( x) sin x] 型
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小 结:
对非齐次方程
~ y p y q y e x Pl ( x) cos x P n ( x ) sin x
提示:
~ [ Rm ( x) cos x Rm ( x) sin x]
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x 的通解 (其中 y 4 y 4 y e 2. 求微分方程
为实数 ) . 解: 特征方程 r 2 4 r 4 0 , 特征根: r1 r2 2 对应齐次方程通解:
2 时, 令 y A e x , 代入原方程得 A
故原方程通解为
1 ( 2 )
2
,
2 时, 令 y B x 2 e x , 代入原方程得 B 1 , 2
故原方程通解为
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不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(3 a x 3 b 4 c) cos 2 x (3 c x 3 d 4 a) sin 2 x x cos 2 x 3a 1 1 4 3b 4 c 0 a 3 , d 9 比较系数 , 得 3c 0 bc0 3d 4 a 0