追及和相遇问题ppt课件

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代入题给数据 vA＝20 m/s，vB＝4 m/s，a＝2 m/s2 有 t2－24t＋108＝0⑤
解得 t1＝6 s，t2＝18 s⑥ t2＝18 s 不合题意，舍去． 因此，B 车加速行驶的时间为 6 s.
答案：6 s
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变式训练3 一辆巡逻车最快能在10 s内由静止加 速到最大速度50 m/s，并能保持这个速度匀速行 驶．在平直的高速公路上，该巡逻车由静止开始启 动加速，追赶前方2 000 m处正以35 m/s的速度匀 速行驶的一辆卡车，至少需要多少时间才能追上？
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• 答案：C
测试
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• 答案：D
测试
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3．解答追及、相遇问题的常用方法
(1)物理分析法：抓住“两个物体能否同时到达空间同一位
置”这一关键进行分析。
(2)相对运动法：巧妙选取参考系，然后找出两物体的运
动关系。
(3)极值法：设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关
于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有
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设人经过 t2 追上汽车，则人追上汽车需满足的条件为： s 人′＝s 车′＋7 m，s 人′＝v 人 t2，s 车′＝v20a2 联立以上三式，代入数据解得 t2＝8 s。
[答案] 8 s
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4．摩托车在平直公路上从静止开始启动，做加速度大小为 a1＝1.6 m/s2的加速运动，稍后匀速运动，然后做加速度 大小为a2＝6.4 m/s2的减速运动，直到停止，共历时130 s， 行程1 600 m。试求： (1)摩托车行驶的最大速度vm； (2)若摩托车从静止启动，a1、a2不变，直到停止，行程 不变，所需最短时间为多少？
[答案] Ｄ
[解析]由v－t图象可知：在4 s时甲车比乙车多前进8 m， 说明在4 s前甲车已经追上乙车并超过乙车，在4 s后乙车又追 上并超过甲车，8 s时两车间距离达到第二次相遇后的最大距 离，此后由于甲车速度一直大于乙车速度，可知甲车还会追上 并超过乙车，第三次相遇后两车将不再相遇．综上所述可知只 有D选项正确．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图2－4－1
【答案】 (1)2 s 6 m (2)4 s 12 m/s 20
甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，
乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车
经过乙车旁边开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开
始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间．
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法三：如图 2－4－1 所示，作出 v－t 图． (1)设相遇前 t s 两车速度相等 v 汽＝a·t＝6 m/s，即 3t ＝6，解得 t＝2 s 时两车相距最远．
两车的位移差 Δx＝12×6×2 m＝6 m. (2)由图知，t＝2 s以后，若两车位 移相等，即v－t图象与时间轴所夹 的“面积”相等． 由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s， 此时v汽＝2v自＝12 m/s.
➢开始时两个物体相距X0，若VA=VB是，XA+X0＜XB，则能追 上，反之，则不能追上，若VA=VB时，XA+X0=XB，则恰好不 相撞
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．相遇问题的两类情况 (1)同向运动的两物体追及并相遇． (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开 始 时两物体间的距离时即相遇．
➢同向运动的两物体追及并相：两物体的位移大小相 减等于开始时两物体的距离 ➢相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和 相加等于开始时两物体间的距离
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假定在追赶过程中两者在同一位置，比较此时的速度大 小，若v甲>v乙，则能追上；v甲<v乙，则追不上，如果始 终追不上，当两物体速度相等即v甲＝v乙时，两物体的间 距最小．
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(3)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者 (如匀速运动) ①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追 不上，此时两者间的距离最小 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追 的上，此情况还存在乙再次追上甲 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于相同位置，则恰好 追上
当两车的速度相等时，两车之间距离最大．
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有 v 汽＝at＝v 自，t＝va自＝2 s
Δx＝v 自·t－12at2＝6×2 m－12×3×4 m＝6 m.
(2)追上时，两车位移相等，即：
12at′2＝vt′
t′＝2av＝2×3 6s＝4 s
v 汽′＝at′＝3×4 m/s＝12 m/s.
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法二：(1)设汽车在追上自行车之前经时间 t 相距最远．
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[解析] (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距 离最大，设该减速过程经过的时间为 t，则 v 乙＝v 甲－at 解得：t＝12 s， 此时甲、乙间距离为 Δx＝v 甲 t－12at2－v 乙 t
＝10×12 m－12×0.5×122 m－4×12 m＝36 m.
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(2)设甲车减速到零所需时间为 t1，则有： t1＝va甲＝20 s. t1 时间内，x 甲＝v2甲t1＝120×20 m＝100 m， x 乙＝v 乙 t1＝4×20 m＝80 m. 此后乙车运动时间 t2＝x甲v－乙x乙＝240 s＝5 s， 故乙车追上甲车需 t1＋t2＝25 s.
[答案] (1)36 m (2)25 s 25
极值法：
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图像法：
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3．A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车 前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度 做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为 零．A车一直以20 m/s的速度做匀速运动．经过12 s后 两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？
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解析：(1)作出摩托车运动的 v－t 图像，如图甲所示，利用推论 vt2－v02＝2as
甲 有：v2ma12＋(130－vam1 －vam2 )vm＋v2ma22＝1 600。 其中 a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 解得 vm＝12.8 m/s(另一解舍去)。
两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，即有一个解，说
明刚好追上或相碰；若Δ<0，在实数范围无解，说明追
不上或不能相碰。
(4)图像法：将两者的速度—时间图像在同一坐标系画出，
利用图线特征分析求解。
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追及相遇问题的求解方法
例3 一小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，
恰有一自行车以6 m/s的速度从车边匀速驶过．
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[关键一点] (1)在解决追及、相遇类问题时，要紧抓“一图三式”，
即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系 式，最后还要注意对结果的讨论分析． (2)分析追及、相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字 眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、 “最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足 相应的临界条件．
• 答案：A
预习追及与相遇问题
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三、追及和相遇问题 1．追及问题的两类情况(能否追上） (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后
者速度一定不小于前者速度．当它们速度相同时，它们之间的 距离为追及前它们的最大距离 (2)若追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者
相距最近． 1.如何判断后者B能否追上前者A
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变式题 [ 2012·合肥模拟]甲、乙两车在同一水平道 路上，一前一后相距x＝6 m，乙车在前，甲车在后， 某时刻两车同时开始运动，两车运动的过程如图所 示，则下列表述正确的是( ) A．当t＝4 s时两车相遇 B．当t＝4 s时两车间的距离最大 C．两车有两次相遇 D．两车有三次相遇
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第4讲 │ 考向互动探究
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解析：若经时间 t 正好追上，在 t 时间内，卡车位 移 x1＝v1t，巡逻车位移 x2＝12at21＋v2t2，t1＋t2＝t，a ＝vt12，且由题意 x2＝x1＋2000 m，由以上式子可得： t＝150 s. 答案：150 s
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[每课一得]
[示例] 某人骑自行车以4 m/s的速度匀速前进，某时刻在 他正前方7 m处以10 m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发 动机，然后以大小为2 m/s2的加速度匀减速前进，求此人 需多长时间才能追上汽车？
[思路点拨] 分析运动过程，运用位移关系和时间关系列方
程，并结合运动学公式求解，注意两车相距最大距离以及乙
车追上甲车时的临界条件．
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2．追及问题的解题思路 (1)分清前后两物体的运动性质； (2)找出两物体的位移、时间关系； (3)列出位移的方程； (4)当两物体速度相等时，两物体间距离出现极值．
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(2)匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的 物体乙时，恰好追上或恰好追不上的临界条件是两 物体速度相等，即v甲＝v乙． 判断此种追赶情形能否追上： ①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追 不上，此时两者间的距离最小 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追 的上，此情况还存在乙再次追上甲 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于相同 位置，则恰好追上
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(1)分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、 “两个个等量关系”． 在追及、相遇问题中，速度相等往往是临界条件，也往往 会 成为解题的突破口． (2)在追及、相遇问题中常有三类物理方程： ①位移关系方程；②时间关系方程；③临界关系方程．
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1．追及问题常见三种情形 (1)初速度为零的匀加速直线运动的物体甲追赶同 方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追 上之前两者有最大距离的条件是两物体的速度相 等，即v甲＝v乙．
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[错因] 机械套用追及相遇问题的关系式，忽略了汽车的 实际运动情况而造成的错解，事实上汽车停下来以前，人 并没有追赶上汽车。
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[正解] 汽车刹车，经时间 t1 停止，由 vt＝v0－at1 得，t1＝va0 ＝5 s 设汽车在匀减速过程中被人追上，则 s 人＝s 车＋7 m，s 人＝v 人 t，s 车＝v0t－12at2， 联立以上三式，代入数据得，t2－6t－7＝0，解得 t＝7 s>t1， 故相遇前车已停下。
(1)汽车从开动后在追上自行车之前，要经多长时间
两者相距最远？最远距离是多少？
(2)什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？
【自主解答】 法一：(1)汽车开动后速度由零逐渐
增大，而自行车速度是定值，当汽车的速度还小于
自行车的速度时，两者距离越来越大，当汽车的速
度大于自行车的速度时，两者距离越来越小，所以
Δx＝x 自－x 汽＝v 自·t－12at2＝6t－32t2. 利用二次函数求极值条件知
当 t＝－2ba＝－2－6 32s＝2 s 时，Δx 最大，
故 Δxmax＝6×2 m－32×22 m＝6 m. (2)汽车追上自行车时，两车位移相等．
v 自·t′＝12at′2
代入数值得 t′＝4 s
v 汽′＝a·t′＝3×4 m/s＝12 m/s
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解析：设 A 车的速度为 vA，B 车加速行驶的时间为 t，两车
在 t0 时相遇．则有
xA＝vAt0
①
xB＝vBt＋12at2＋(vB＋at)(t0－t)
②
式中，t0＝12 s，xA、xB 分别为 A、B 两车相遇前行驶的路程．依 题意有
xA＝xB＋x
③
式中 x＝84 m，由①②③式得
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t2－2t0t＋2[vA－vaBt0－x]＝0
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[答案] ＡＣＤ
[解析] 由图象知，2 s末甲、乙两质点在同一位置，所以 选项A正确．在x－t图象中图线上某点的切线斜率为物体在该 点的速度，2 s末v甲＝－2 m/s，v乙＝2 m/s，所以选项B错误， 选项C正确．甲、乙两质点在5 s末再次到达同一位置，选项D 正确．
[点评] 本题为位移—时间图象，反映两个物体位移随时间 变化的规律，两图线的交点即表示相遇，故在5 s末甲、乙两 质点再次到达同一位置．而速度—时间图象中两图线的交点表 示对应时刻两物体的速度相等，可能相遇，也可能不相遇，如 下面的变式题即为v－t图象的应用．
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3．相遇问题 (1)相遇的特点：在同一时刻两物体处于同一位置． (2)相遇的条件：同向运动的物体追及即相遇；相向 运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开 始时两物体之间的距离时即相遇． (3)临界状态：避免相碰撞的临界状态是两个运动物 体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．
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题型一：图像题 例3如图所示为甲、乙两质点做直线运动的x －t图象，由图象可知( ) A．甲、乙两质点在2 s末相遇 B．甲、乙两质点在2 s末速度相等 C．在2 s之前甲的速率与乙的速率相等 D．甲、乙两质点在5 s末再次到达同一位置