初中数学：最短路径
（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
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（完整）初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利⽤平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作⽤。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“⽴体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“⽴体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有⾓、三⾓形、菱形、矩形、正⽅形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
⼀、两点在⼀条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求⼀点P，使得PA+PB最⼩。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）⼆、两点在⼀条直线同侧例：图所⽰，要在街道旁修建⼀个奶站，向居民区A、B提供⽜奶，奶站应建在什么地⽅，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在⼀直线上时，才能使AC+BC最⼩．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、⼀点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐⾓∠MON内部任意⼀点，在∠MON的两边OM，ON上各取⼀点B，C，组成三⾓形，使三⾓形周长最⼩.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在⼀条直线上时，三⾓形的周长最⼩例：如图，A.B两地在⼀条河的两岸，现要在河上建⼀座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平⾏的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的⽅向平移⼀个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：最短路径--教学设计
全国初中数学优秀课一等奖教师教学设计：最短路径–教学设计一. 教材分析“最短路径”是初中数学中的一重要内容，主要让学生了解最短路径的概念，掌握求解最短路径的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解最短路径的定义，学会使用图论中的迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念，如顶点、边、路径等。
但他们对最短路径的概念和求解方法可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过已有的图的知识，去理解和掌握最短路径的相关知识。
三. 教学目标1.理解最短路径的定义。
2.学会使用迪杰斯特拉算法求解最短路径问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.最短路径的定义。
2.迪杰斯特拉算法的理解与应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题情境，引导学生主动探究；通过分析实际案例，让学生理解和掌握最短路径的求解方法；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关案例资料。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题情境，如两个人从同一城市出发，到达另一个城市，如何选择路径使得距离最短。
引导学生思考最短路径的概念。
2.呈现（15分钟）呈现最短路径的定义，以及迪杰斯特拉算法的原理和步骤。
通过图例，让学生直观地理解最短路径的求解过程。
3.操练（20分钟）学生分组，每组选择一个案例，运用迪杰斯特拉算法求解最短路径。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，检验自己对于最短路径知识的理解和掌握。
教师选取部分题目进行讲解。
5.拓展（10分钟）引导学生思考最短路径在实际生活中的应用，如地图导航、网络路由等。
让学生举例说明最短路径在实际问题中的应用。
6.小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调最短路径的定义和迪杰斯特拉算法的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固最短路径的相关知识。
初中最短路径问题7种类型
初中最短路径问题7种类型初中最短路径问题7种类型最短路径问题是离散数学中一个重要的研究领域，其应用广泛，包括交通路线规划、网络优化等。
对于初中学生来说，了解和掌握最短路径问题，有助于培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
下面将介绍初中最短路径问题的七种类型。
1. 单源最短路径问题单源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，从一个确定的源点出发，求到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用迪杰斯特拉算法或贝尔曼-福特算法来求解。
通过学习和理解这些算法，学生可以逐步掌握寻找最短路径的基本方法。
2. 多源最短路径问题多源最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，求任意两个顶点之间的最短路径。
这个问题可以通过使用佛洛依德算法来解决。
学生可以通过了解和实践佛洛依德算法，掌握多源最短路径问题的求解方法。
3. 无权图最短路径问题无权图最短路径问题是指在一个无向无权图中，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用广度优先搜索算法来解决。
学生可以通过学习广度优先搜索算法，了解和掌握无权图最短路径问题的解决方法。
4. 具有负权边的最短路径问题具有负权边的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权边，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法来解决。
学生可以通过了解和实践贝尔曼-福特算法，理解和应用具有负权边的最短路径问题。
5. 具有负权环的最短路径问题具有负权环的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，存在负权环，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用贝尔曼-福特算法的改进版来解决。
学生可以通过学习和理解贝尔曼-福特算法的改进版，解决具有负权环的最短路径问题。
6. 具有边权和顶点权的最短路径问题具有边权和顶点权的最短路径问题是指在一个给定的加权有向图中，除了边权之外，还考虑了顶点的权重，求从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
这个问题可以通过使用约翰逊算法来解决。
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径--说课稿
全国初中数学优秀课一等奖教师说课稿：最短路径–说课稿一. 教材分析《最短路径》是人教版初中数学八年级上册的一章内容，主要介绍了最短路径问题的相关知识。
本章内容是学生在学习了图论的基础上，进一步探究图的应用。
通过本章的学习，学生能够理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，对于复杂的最短路径问题，学生还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将会以学生为主体，注重培养学生的动手操作能力和思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解最短路径的概念，掌握最短路径的求解方法。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径的概念，最短路径的求解方法。
2.教学难点：对于复杂的最短路径问题，如何引导学生找到解决方法。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究最短路径问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，以动画、图片等形式，直观地展示最短路径问题的解决过程。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对最短路径的兴趣。
2.探究：引导学生分组讨论，自主探究最短路径的求解方法。
3.展示：各小组展示自己的探究成果，其他小组进行评价。
4.讲解：对学生的探究成果进行总结，讲解最短路径问题的解决方法。
5.练习：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强调最短路径在实际生活中的应用。
七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.定义：从图中一个顶点到另一个顶点的最短路径。
2.求解方法：a.迪杰斯特拉算法b.贝尔曼-福特算法c.动态规划法八. 说教学评价本节课的评价方式主要有两种：一是课堂表现，包括学生的参与度、思考问题的深度等；二是课后作业，包括练习题的完成情况、对知识的掌握程度等。
最短路径问题初中数学模型
课后精练
【提示】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C 作CM⊥OA于M；证明△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE， 再根据相似三角形线段的比例关系，求解即可．
【答案】8
答案图
课后精练 11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝ 6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD， 点M为BD中点，线段CM长度的最大值为______．
OC 交圆 O 于点 F，如图．
由题可得∠AED＝∠AEB＝90°，
∴点 E 在以 AB 中点 O 为圆心的圆上(在△ABC 内部)．
由题意，得 AC＝AB＝4，半径 OE＝OA＝2，
∴由勾股定理，得 OC＝2 5.
答案图
根据三角形三边的关系，得
CE≥OC－OE＝2 5－2(取等号时非三角形)，
∴当点 C，E，O 三点共线时，CE 最小，最小值为 2 5－2.
15
11 由相似三角形线段的比例关系表示出
A.4
B. 4
C.3
D. 4
HF，DH，再由S△CEF＝S梯形HFCD＋S△CDE－
S△EHF列关系式即可．
课后精练 5．如图，E是边长为4 cm的正方形ABCD的边AB上 一点，且AE＝1 cm，P为对角线BD上的任意一点，则 AP＋EP的最小值是___5___cm．
课堂精讲
例 2 如图，△ABC 中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°， AB＝2 2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF，则 EF 的最小值是________．
课堂精讲
【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为△ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短．如图，连接 OE，OF，过点 O 作 OH⊥EF，垂足为 H，
人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；
【初中数学】最短路径模型及例题解析
【初中数学】最短路径模型及例题解析一、最短路径模型简介在日常生活中，我们常常会遇到寻找从一个地点到另一个地点的最短路径问题。
例如，从家到学校、从甲地到乙地等。
在数学领域，最短路径问题属于图论的研究范畴，是图论中的一个基本问题。
最短路径模型就是用来解决这类问题的一种数学方法。
最短路径模型主要包括以下几个要素：1. 图：由顶点（地点）和边（路径）组成的集合。
2. 距离：表示两个顶点之间的距离或权重。
3. 路径：从一个顶点到另一个顶点经过的边的序列。
4. 最短路径：在所有路径中，长度最小的路径。
二、最短路径模型的求解方法1. 枚举法：枚举所有可能的路径，然后从中选择长度最小的路径。
这种方法适用于顶点数量较少的简单图。
2. Dijkstra算法：适用于带权重的有向图，通过逐步求解，找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
3. Floyd算法：适用于求解任意两个顶点之间的最短路径，通过动态规划的方法，求解所有顶点对之间的最短路径。
三、例题解析【例题1】某城市有6个主要交通枢纽，分别用A、B、C、D、E、F表示。
下面是这6个交通枢纽之间的距离表（单位：千米）：```A B C D E FA 0 5 7 8 9 10B 5 0 6 7 8 9C 7 6 0 4 5 6D 8 7 4 0 3 4E 9 8 5 3 0 2F 10 9 6 4 2 0```求从A到F的最短路径。
【解析】这是一个典型的最短路径问题，我们可以使用Dijkstra算法求解。
1. 初始化：将所有顶点的距离设置为无穷大，源点A的距离设置为0。
2. 选取距离最小的顶点，标记为已访问。
此时，A为已访问顶点。
3. 更新相邻顶点的距离：从A出发，更新B、C、D、E、F的距离。
此时，B、C、D、E、F的距离分别为5、7、8、9、10。
4. 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问。
最后得到的最短路径为A→B→E→F，长度为14千米。
【例题2】某城市有5个公园，分别用P1、P2、P3、P4、P5表示。
初中数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》
13.4 课题学习 最短路径问题学习目标：1.利用“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”来解决有关的最短路径问题.2.学会运用轴对称、平移把已知问题转化为容易解决的问题，从而解决最短路径问题. 一、学前准备1.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B =30°，AD =2 cm ，则AB 的长度是（ ） A .2 cmB .4 cmC .8 cmD .16cm2.如图所示，从A 地到B 地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？二、预习导航 （一）预习指导活动1 探究牧马人饮马问题（阅读教材第85～86页，运用轴对称解决牧马人饮马问题） 3.（两点在一条直线异侧）如图，点A 、点B 在直线的两侧，请你在上找一个点P ，使得这个点到点A 、B 的距离和最短，即PA +PB 最小. 思考：为什么这样做就能得到最短距离呢？你如何验证PA +PB 最短呢？lAB第1题图BA CD第2题图4.（两点在一条直线同侧）问题：如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地.牧马人到河边的什么地方饮马，可是所走的路径最短？（提示：这个问题可以转化为：当点C 在的什么位置时，AC 与BC 的和最小？）活动2 探究造桥选址问题（阅读教材第86～87页，运用平移解决造桥选址问题） 5.如图所示，在一条河的两岸有两个村庄A 和B ，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A 到B 的距离最短？归纳：造桥选址问题是利用__________将问题转化为__________________________的问题. 预习疑惑： （二）预习检测6.如图，在正方形ABCD 中，点M 在DC 上，点N 是AC 上一动点，当N 在________和AC 的交点处时，DN +MN 的值最小.三、课堂互动 问题1最短路径问题7.如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，若A 到河岸CD 的中点的距离为500 m .问：lABa bAB（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？（2）最短路程为多少？方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，直线l是一条河，A、B两地相距5 km，A，B两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A.B.C.D.2.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD 上一点，则PE+PC的最小值为（）A.3B.3C.2D.333.如图，A，B两个电话分机到电话线l的距离分别是3 m，5 m，CD=6 m，若由l上一点分别向A，B连电话线，最短应为（）A.8 mB.9 mC.10 mD.11 m4.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在C D上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．《13.4 课题学习 最短路径问题》参考答案一、学前准备 1.答案：C.2.答案：②，理由：两点之间，线段最短. 二、预习导航3.略.4.略.5.略.归纳：平移；两点之间，线段最短. 6.答案：BM . 三、课堂互动7.解：（1）作点A 关于CD 的对称点A′，连接A′B ，交CD 于M .则点M 为饮水处，线段A′B 的长度即为牧童从A 处把牛赶到河边饮水后回家，所走的最短路程； （2）连接AM .∵点A 关于CD 的对称点是A′，点M 在CD 上， ∴A′C =AC ，A′M =AM . ∵AC =DB ， ∴A′C =BD .∵AC ⊥CD ，BD ⊥CD ， ∴∠ACD =∠A′CD =∠BDC =90°. ∵在△CA′M 和△DBM 中，'''A CM BDM A MC BMD A C BD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△CA′M ≌△DBM . ∴A′M =BM ，CM =DM . ∴M 为CD 中点.∴BM=AM=500（米）∴A′B=A′M+BM=AM+BM=1000（米）即最短路程是1000米.五、达标检测1.答案：A.2.答案：D.3.答案：C.4.答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F.。
初中数学几何最短路径问题详解
初中数学几何最短路径问题详解
最短路径问题是初二上学期数学的一个重难点，很多同学看到这种题型可能会没有思路，不知道怎么下手!
寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径，算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。
②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。
涉及知识：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”。
出题背景：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题思路：找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
初中数学最短路径问题
初中数学最短路径问题在初中数学中，最短路径问题是经常出现的一类问题，它涉及到轴对称、坐标轴、一次函数、三角函数以及两点之间的距离公式等多个方面。
下面将分别对这些问题进行介绍和解析。
1.轴对称与最短路径轴对称是最基本的一种对称形式，是指在平面内，将一个图形沿一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合。
在最短路径问题中，轴对称可以用来寻找两点之间的最短路径。
例如，在一条直线上有两个点A和B，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。
2.坐标轴上的最短路径在坐标轴上，最短路径问题通常涉及到两点之间的距离。
在x轴和y轴上分别有点A(x1,0)和B(0,y1)，那么A到B的最短路径就是在x轴和y轴上分别截取两个点C(x2,0)和D(0,y2)，使得AC=BD，那么线段AB就是最短路径。
3.一次函数与最短路径在一次函数中，最短路径问题通常涉及到函数的单调性和最值。
例如，在一条直线上有点A(x1,y1)，有点B(x2,y2)，要求找到A到B的最短路径，可以通过作A关于直线对称的点A'，然后连接A'和B，得到的线段A'B就是最短路径。
在这个过程中，可以运用一次函数的单调性和最值来计算最短路径的长度。
4.三角函数与最短路径在三角函数中，最短路径问题通常涉及到角度和长度之间的关系。
例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以通过作AB边上的一点D，使得AD=CD，那么线段AD就是最短路径。
在这个过程中，可以运用三角函数的性质和定理来计算最短路径的长度。
5.两点之间距离公式在解决最短路径问题时，常常需要使用两点之间距离公式。
这个公式可以用来计算两点之间的直线距离，也可以用来计算两点之间的曲线距离。
例如，在一张三角形ABC中，有点A(x1,y1)，有点C(x2,y2)，要求找到A到C的最短路径，可以先运用两点之间距离公式计算出AC的距离，然后根据三角函数的性质和定理来计算出最短路径的长度。
13.4课题学习最短路径问题(教学课件)— 初中数学人教版八年级上册
M'
M
a
∴AM’+M’N’+BN’＝A’N’+AA’+BN’
A'
∵MN平行AA’且MN＝AA’ ∴MN可以看作是AA’经过平移得到的 ∴A’N＝AM ∴AM+NB＝A’N+NB
b N' N
B
∵根据两点之间线段最短，得A’N+NB＝A’B<A’N’+BN’
∴AM+NB<AM’+BN’
∵MN＝M’N’
∴AM+MN+NB<AM’+M’N’+N’B，即路径AMNB最短。
解：①作点A关于直线b的对称点A’，连接A’B交直
线b于点E，则AE+BE＝A’E+BE＝A’B，根据两点之间线
段最短，AE+BE的路程最短。
②∵点A与点A’关于直线b对称
A'
∴AE＝A’E，AC＝A’C
∴∠AEC＝∠A’EC
a
∵∠BED＝∠A’EC
∴∠AEC＝∠BED
∵∠ACE＝∠BDE＝90°，AC＝BD
C
E
Db
∴△AEC≌△BED(AAS)
∴EC＝ED，BE＝AE
∵点A到河岸CD的中点的距离为500米
A
B
∴BE＝AE＝500
∴AE+BE＝1000（米），即最短路是1000米。
【点拨精讲】（3分钟）
1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路 径的选择。
分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进
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1
导入
1.如图，如果你从A点出发到B点，此时有三条路 线，你会选择哪一条路线呢？为什么？ ①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是河流l外一点，点P与该河流l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
C
C′
l
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
课堂练习
难点巩固
1.如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点， 在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
A
M
B
P
M ’
N C
课堂练习
A BC
Dl
导入
•
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直
线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最
短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
•
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，
本节课我们将学习如何利用数学知识来解决生活
中的实际问题。
P
①
②
A ③B
A BC
Dl
知识讲解
难点突破
探究1.如图，牧马人骑马从A地出发，到一条笔直的 河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方 饮马，可使所走的路径最短？
A
A
l B
l
C
B
两点之间，线段最短
知识讲解
难点突破
探究2.如图，牧马人骑马从A地出发，到一条笔直的 河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方 饮马，可使所走的路径最短？
B
A
l 当点C在直线 l 的什么位 置时，AC与BC的和最小 ？
知识讲解
难点突破
1 作点B关于直线 l 的对称点B′ .
B A
l
C
B′
2 连接AB′
线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
问题 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
难点巩固
第2题图
小结归纳
B A
Cl B′
轴对称 变换
A
C
l
B
两点之间，线段最短
Thank You!
阿克苏市第十五中学 王婷