多元函数积分学换元法的探究
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ｘ ｏ ｙ平 面 上 的 区域 变 为 “ 平 面 上 的 区域 。在 这个 变 换 之 下 其
其中Ｖ 是 Ｖ 在 球 面 坐 标 变 换 下所 对 应 的 体。
空 间 中 的 立
３ 多元 函数 积 分 学 的 例 解
利用 极坐标 、 柱面坐标 、 球 面 坐标 计 算 多 重 积 分 是 同学 熟
现 有 项 目及 其 应 用 领 域 ． 同 时考 虑 到 学 生 现 阶 段 的认 知 ， 我 们 从 中提 炼 出 呼 叫 中 心 系 统 、 酒 店 管 理 系统 、 销售 管理 系 统 、 财 务
１ 管 理 信 息 系统 在 企 业 中的 应 用 现 状
学生 的学 习兴趣 和激情 与项 目选择有很大 的关联 ， 正确 选
在 教 学 中融 入 项 目式 教 学 方 法 ， 有 助 于 让 学 生 对 管 理 信 息 系统 有 一个 更 为 全 面 的 认识 ， 使 其 在 今 后 的工 作 中能 够 更 快 的 融入 到信 息 化 建设 当 中 。 为 防 止 教 学 与 实 践脱 轨 ， 教 学 中选 取 的项 目案 例应 与企 业 现 有 的 管 理 信 息 系 统 紧 密 联 系 。 通 过 分 析
ｂ （ ０ ＜ ０ ＜ ６） 围成 ， 积分 限的确定较复杂 ， 考虑换元法 ， 作适 当变换
ｆ
逆 变 换 为 区 域 Ｄ ， 且 ｃ ｏ ｓ Ｏ
＝
１ ＝ ｒ ， 这 时 Ｊ ｆ （ ｘ ， ｙ
ｆ （ ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｒ ｓ ｉ ｎ Ｏ） ｄ ｕ ｄ Ｏ ，这 个 变 换 即二 重 积 分 的极 坐标 变
ｓ ｎ ， 有 ８ ， （ ， ） ｄ ｘ ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ｉ ， （ ｎ 妒 ｃ 。 ｓ ｉ ｍ ｐ ｓ ｉ 凡 ｒ ｃ 。 ｓ ） ． ｒ ２
ｓ ｉ ｒ ｕ ｐ ｄ ｒ ＆ ｐ ｄ Ｏ （
（ １ ） 从 几 何 的 角 度 看， 函 数 组｛ “ ， 是 一 种 变 换 ， 它 把 Ｉ ｙ＝ ｙ Ｌ ． ，
换 元 法 是 积 分 计 算 的 一 种 重 要 方法 ， 是 我 们 必 须 掌 握 的 基
本 技 能 之一 。 同学 们 应 该 很 熟 悉 定 积 分 的换 元 法 ， 但 多 元 函数 积 分 学 的换 元 法 未必 被 同学 们 广 泛 掌 握 ． 绝 大 多 数 高 等 数 学 教 材 也 未 将 这 一计 算 方 法 纳 入 和 讨 论 。 本 文 从 多 元 函 数积 分计 算
择 项 目驱 动 ， 必 须 要 了 解 目前 管 理 信 息 系 统 在 企 业 中 的 实 际 应 用情况 ， 才 能 参 照 企业 调 研 结 果 为 不 同专 业 设 计 不 同 的 项 目驱 动 。 因此 ， 我 们 通 过 问 卷 星 网站 进 行 在 线 问 卷 调 查 ，了 解 管 理 信息 系统在企业 中的应用 现状 ， 包括企业 信息化 的 目的 ， 信 息 化水平 的程度 ． 效果 和不足 ， 并从 调研中提炼 出适合教 学的 系
常 用 的 三重 积 分 换 元 法 有 柱 面坐 标 变 换 和球 面坐 标 变 换 ：
借 助 柱 面 坐 标 变 换 ｛ ｙ ＝ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｏ ； ， Ｊ ＝ － ＝ ： ｌ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｓ Ｏ ｒ － ｃ ｒ ｏ 。 ｓ ￥ ｉ ｎ Ｏ ０ １ ＝
， 这就是二重积分换元法内涵。
（ ２ ） 当二 重 积 分 区 域 的 边 界 方 程 较 复 杂 时 ， 无法画 图、 无 法
确 定 二 次 累次 积 分 的 积 分 限 时 ， 常 考虑 用 以上 定 理 换 元 。
区域 为 Ｄ． 求 Ｄ 的面 积 ．
根 据 上 面 定 理 可 直 接 推 导 出 一 个 应 用 广 泛 的 重 要 计 算 法— — 二重 积分 的极 坐 标计 算 法
＝ ９ 聊 ‘ ｝
２ ０ １ ５ 年第 １ ２ 期
经
计算 机实践课程项 目设计 研究
黄 伟 力
（ 江西科技 学院信 息 工程 学院 ， 江西 南昌 ３ ３ ０ ０ ９ ８ ）
摘 要： 计 算机 实 践课 程 强 调 学 生动 手 能 力 的培 养 ， 也 注 重计 算 思 维 的训 练 。 为 了提 高 学 生参 与 学 习的 积极 性 ， 针 对 各 个专 业 设 置合 理 的综 合 实践 项 目尤 为重 要 ， 在 提 高 学 生信 息 技术 素 养 的 同 时也 可 以加 深 学 生对 本专 业 的 认识 ， 从 而 实现 计算 机 课程 和 专 业课 程 之 间 的联 动 。 关 键词 ： 计算机实践 ； 项 目设 计 ； 管理 信 息 系 统
Ｄ Ｄ
＂
域， 函 数
ｚ ） 在Ｖ 上连续， 变换 Ｙ ： ｛ ｙ ＝ ｙ ！ ｕ ｌ ｖ ｌ ｗ） 将空间Ｕ Ｖ Ｗ
【 ｚ ＝ ｚ（
。
）
上 由简 单 闭 曲 面 所 围 成 的 闭 区 域 。 映射到空间 ｘ ｙ ｚ 上 闭 区 域
．
ｙ ≤ ， 围 成 。’
（ ２ ） 计 算 』
统 原 型 。从 收 到 ５ ９ 份 有效问卷中发现 ：
管理 系统 、 仓库管理 系统 、 绩 效 考 核 系统 、 薪 资 核 算 系统 、 人 事 档 案 系统 、 物流管理系统 、 客 户 关 系管 理 系统 １ Ｏ个 系 统 作 为学 生 备 选 系统 ， 学 生 可 以 根 据 自身 的 专 业 特 色 及 兴 趣 方 向 以小 组 为 单 位 自选 。 考 虑 到上 课 时教 师集 中讲 授 的 上课 用 例 应 具 有普 遍性 ， 应采用学生较为熟悉 ， 容 易 接 受 的 系统 。 例 如 ， 图 书 管 理
０ 引 言
计算机基础 、 程序设计 、 数 据 库 等课 程 都 具 有 实 践 环 节 ． 项 目驱 动 法 是 实 践 教 学 中 的 重 要 方 法 。 许 多 学 生 对 计 算 机 项 目都 有 着 各 种 各 样 的憧 憬 ， 在 掌 握 程 序 设 计 基 本 方 法 和 数 据 库 基 本 知识后 ， 完 全 有 能 力 开 发 小 型 的管 理 信 息 系统 。 学 生 来 自不 同 的专业 方 向， 对 不 同 项 目 的兴 趣 程 度 会 存 在 差 异 ， 因 此 选 择 合
面积微元之比正等于函数比行列式的绝对值 阳
即ｄ ｏ － ｙ ＝ Ｉ Ｊ （ ｕ ， ｖ） Ｉ
： Ｉ ． ， （ ｕ ， ） Ｉ ，
悉 的换 元 法 ， 以 下 例解 几个 一般 的换 元 法 。
（ １ ） 设 曲 线 ＝ ｐ ｘ ， Ｙ ‘ ＝ ｑ ｘ （ Ｄ 印＜ ｇ） ， ｘ ｙ ＝ ａ ， ｘ ｙ ＝ ｂ （ Ｄ ＜ Ⅱ ＜ ６） 所 围 的
｛ ＝ ： ， ： 将ｕ 平 面的 区 域Ｄ ， 一 对 一的 变 换为 ｏ ｙ 平面 上
，
借助球面坐标变换 ，其中｛ ｙ ＝ ｒ ｓ ｔ ‘ ｒ ｕ ｐ ｓ ｎ ０ ≤ｒ ≤一 。 。 ， Ｄ ≤‘ Ｐ ≤
的区 域Ｄ ， 且｛ Ｙ ： “ Ｕ ， ： 在Ｄ 上对 与 存在连 续偏导 数，
系统 和学 生管 理 系统 就 是 不错 的 选择 。
（ １ ） 管 理 信 息 系 统 在 企 业 中 已得 到 广 泛 的 应 用 ， 现 阶 段 大 多 数 系 统 都 能 部 分 实 现企 业 的 需求 ， 应 用 比较 成 功 。 同时 ， 我 们
３ 展 望
企 业 的信 息 化 建 设 程 度 不 断 提 升 。 不仅 仅 大 型 企 业 拥 有 自 己 的管 理 信 息 系统 ， 很 多 中 小 型 企 业 也 逐 步 走 上 了 信 息 化 的道
、
具 有 连 续 导 数 ； 函 数 行 列 式
＝
≠ ｏ ， 则 』 ， （ ， ）
ｗ ＝
３ ２
，
将 积 分 区 域 变 换 为 长方 体 ： Ｊ ≤“ ≤３ ， Ｊ ≤ ≤３ ， Ｊ ≤
ｆ （ ， ｙ （
１
１ ｄ “ ｄ ｖ ｄ ｗ
≤ ３ ， 器 ｝ ， ＝ 加 ， 所 以 ９
如作变换｛
（ ｘ ｙ ＝ ｕ
， 此时ｘ ｏ ｙ 平面 上的区 域Ｄ 将变 成“ ０ 平
０ ，
换。
２ 三 重 积 分 的 换 元 法
‘
ｆ ＝ （ Ｕ ． ” ． Ｗ ）
定 理 ２ 设 是 由光 滑 或 分 片光 滑 曲 面所 围成 的 有 界 闭 区
面 上 的 区 域 Ｄ ， ＝ ｛ （ ） ≤ ≤ ｑ ， 。 ≤ ≤ ６ ） ， ． ， ＝ 暑 － ＿ ， 于 是 。＝ Ｊ Ｊ 击也 幽 ＝ ｆ ； １址ｊ １ （ ｂ － ａ ） ｌ ｎ ｝ 。
＇
一 ． ， ＝
＝ 篡
ｏ 枷 ｓ Ｏ － ｒ ｓ ｉ … ｍ ｐ ｓ ｉ ｎ Ｏ
（ ， ｙ ， 。 ， 函 数 行 列 式
说明 ：
÷ ≠ ￣ ｊ ｔ ： ｆ Ｉ ｆ （ ｙ ）
。
厂
【 （ “ ， ） ， ｙ ‘ ） ］ ｌ Ｊ Hale Waihona Puke Baidu ｕ ， ｖ ） ｌ ｄ ｕ ｄ ｖ 。
Ｘ
＿
， 其 中 由 ， Ｊ ≤ ≤ ３ ， ｙ ≤ ≤ ， ≤
且 满足 ： 变换是 一一 对应 的 ；
（ ， Ｗ） ｙ ＝ ｙ（ ， Ｗ） ｚ （ “ ， ， Ｗ） 在
分 析 ：此 题 所 给积 分 区 域 不 易 画 出 ，故 作 变换 ｕ ＝ Ｙ Ａ Ｚ ＿ 、 ＝
分析 ： 平面图形 Ｄ的面积可用二重积分 Ｉ Ｊ ｄ ｘ ｄ ｙ 来计算， 积
６
设 函 数 ／ （ ， Ｙ ） 在 有 界 闭 区 域 Ｄ 连 续 ， 则 变 换 ｛
一 一
将Ｄ
分 区域 Ｄ 由 抛 物 线
进行求解 。
≈ ＝ ｑ ｘ ， （ Ｄ 印＜ ｇ） 以 及双 曲线 缈 ＝ 吗 ＝
（ ２ ） 球 面 坐 标 变 换
ｆ ｘ ＝ ｒ ｓ ｉ ｎ ｘ ｐ ｃ ｏ ｓ Ｏ
１ 二 重 积 分 的换 元 法 ・
定 理 １若 函 数 ｆ （ ｘ ， Ｙ） 在 有 界 闭 区 域 Ｄ 连 续 ， 函 数 组
在 柱 面 坐 标 变换 下所 对 应 的空 间 中 的立 体 。
适 的项 目进 行 差 异化 教 学 尤 为 重 要 。
针对 不 同 的企 业 要 专 门 定 制适 合 企业 自身 需 求 的 系 统 ， 针对 企 业 的特 点 量 身定 做 。 企业 提 出 需 求 的 人 员 如 果 同 时 具 备 专 业 知
识 和计 算 机 （ 尤其是数据库知识 ） ， 则 更 加 有 利 于 保 障 系统 开 发 质量 。 ’
… 一 变 换
【 Ｚ≈ ’
ｒ，
的 实用 性 出发 ，分 析 讨 论 二 重 积 分 三 重 积分 的换 元法 技 巧 ， 旨 在 让 同 学尽 快 准 确 的掌 握 和 运 用 这 一 方 法 ， 略 去 繁 杂 的证 明过
程。
看０ ， （ ， ｙ ， ） ｄ ｘ ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ｆ （ ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｒ ｓ ｉ ｎ ） ｒ ｄ ｒ ｄ Ｏ ｄ ｚ ， 其 中 是
技 经济 市 场
多元 函数积分学换元法的探究
杨 元启
’ （ 三峡 大学理 学 院 ， 湖北 宜昌 ４ ４ ３ ０ ０ ２ ）
摘 要： 多 元 函 数 积分 学 的换 元 法 是 计 算 多重 积 分 的 重 要 技 巧 ， 本 文介 绍 了对 二 重积 分 和 三 重 积 分 的 换 元 法 理 论 。 对 这 几 种 的换 元 法 的计 算 技 巧 作 了粗 略 的例 解分 析 。 关键词 ： 重积分 ； 坐 标 变换 ； 极 坐标 变换 ； 换 元 法
其中Ｖ 是 Ｖ 在 球 面 坐 标 变 换 下所 对 应 的 体。
空 间 中 的 立
３ 多元 函数 积 分 学 的 例 解
利用 极坐标 、 柱面坐标 、 球 面 坐标 计 算 多 重 积 分 是 同学 熟
现 有 项 目及 其 应 用 领 域 ． 同 时考 虑 到 学 生 现 阶 段 的认 知 ， 我 们 从 中提 炼 出 呼 叫 中 心 系 统 、 酒 店 管 理 系统 、 销售 管理 系 统 、 财 务
１ 管 理 信 息 系统 在 企 业 中的 应 用 现 状
学生 的学 习兴趣 和激情 与项 目选择有很大 的关联 ， 正确 选
在 教 学 中融 入 项 目式 教 学 方 法 ， 有 助 于 让 学 生 对 管 理 信 息 系统 有 一个 更 为 全 面 的 认识 ， 使 其 在 今 后 的工 作 中能 够 更 快 的 融入 到信 息 化 建设 当 中 。 为 防 止 教 学 与 实 践脱 轨 ， 教 学 中选 取 的项 目案 例应 与企 业 现 有 的 管 理 信 息 系 统 紧 密 联 系 。 通 过 分 析
ｂ （ ０ ＜ ０ ＜ ６） 围成 ， 积分 限的确定较复杂 ， 考虑换元法 ， 作适 当变换
ｆ
逆 变 换 为 区 域 Ｄ ， 且 ｃ ｏ ｓ Ｏ
＝
１ ＝ ｒ ， 这 时 Ｊ ｆ （ ｘ ， ｙ
ｆ （ ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｒ ｓ ｉ ｎ Ｏ） ｄ ｕ ｄ Ｏ ，这 个 变 换 即二 重 积 分 的极 坐标 变
ｓ ｎ ， 有 ８ ， （ ， ） ｄ ｘ ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ｉ ， （ ｎ 妒 ｃ 。 ｓ ｉ ｍ ｐ ｓ ｉ 凡 ｒ ｃ 。 ｓ ） ． ｒ ２
ｓ ｉ ｒ ｕ ｐ ｄ ｒ ＆ ｐ ｄ Ｏ （
（ １ ） 从 几 何 的 角 度 看， 函 数 组｛ “ ， 是 一 种 变 换 ， 它 把 Ｉ ｙ＝ ｙ Ｌ ． ，
换 元 法 是 积 分 计 算 的 一 种 重 要 方法 ， 是 我 们 必 须 掌 握 的 基
本 技 能 之一 。 同学 们 应 该 很 熟 悉 定 积 分 的换 元 法 ， 但 多 元 函数 积 分 学 的换 元 法 未必 被 同学 们 广 泛 掌 握 ． 绝 大 多 数 高 等 数 学 教 材 也 未 将 这 一计 算 方 法 纳 入 和 讨 论 。 本 文 从 多 元 函 数积 分计 算
择 项 目驱 动 ， 必 须 要 了 解 目前 管 理 信 息 系 统 在 企 业 中 的 实 际 应 用情况 ， 才 能 参 照 企业 调 研 结 果 为 不 同专 业 设 计 不 同 的 项 目驱 动 。 因此 ， 我 们 通 过 问 卷 星 网站 进 行 在 线 问 卷 调 查 ，了 解 管 理 信息 系统在企业 中的应用 现状 ， 包括企业 信息化 的 目的 ， 信 息 化水平 的程度 ． 效果 和不足 ， 并从 调研中提炼 出适合教 学的 系
常 用 的 三重 积 分 换 元 法 有 柱 面坐 标 变 换 和球 面坐 标 变 换 ：
借 助 柱 面 坐 标 变 换 ｛ ｙ ＝ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｏ ； ， Ｊ ＝ － ＝ ： ｌ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｓ Ｏ ｒ － ｃ ｒ ｏ 。 ｓ ￥ ｉ ｎ Ｏ ０ １ ＝
， 这就是二重积分换元法内涵。
（ ２ ） 当二 重 积 分 区 域 的 边 界 方 程 较 复 杂 时 ， 无法画 图、 无 法
确 定 二 次 累次 积 分 的 积 分 限 时 ， 常 考虑 用 以上 定 理 换 元 。
区域 为 Ｄ． 求 Ｄ 的面 积 ．
根 据 上 面 定 理 可 直 接 推 导 出 一 个 应 用 广 泛 的 重 要 计 算 法— — 二重 积分 的极 坐 标计 算 法
＝ ９ 聊 ‘ ｝
２ ０ １ ５ 年第 １ ２ 期
经
计算 机实践课程项 目设计 研究
黄 伟 力
（ 江西科技 学院信 息 工程 学院 ， 江西 南昌 ３ ３ ０ ０ ９ ８ ）
摘 要： 计 算机 实 践课 程 强 调 学 生动 手 能 力 的培 养 ， 也 注 重计 算 思 维 的训 练 。 为 了提 高 学 生参 与 学 习的 积极 性 ， 针 对 各 个专 业 设 置合 理 的综 合 实践 项 目尤 为重 要 ， 在 提 高 学 生信 息 技术 素 养 的 同 时也 可 以加 深 学 生对 本专 业 的 认识 ， 从 而 实现 计算 机 课程 和 专 业课 程 之 间 的联 动 。 关 键词 ： 计算机实践 ； 项 目设 计 ； 管理 信 息 系 统
Ｄ Ｄ
＂
域， 函 数
ｚ ） 在Ｖ 上连续， 变换 Ｙ ： ｛ ｙ ＝ ｙ ！ ｕ ｌ ｖ ｌ ｗ） 将空间Ｕ Ｖ Ｗ
【 ｚ ＝ ｚ（
。
）
上 由简 单 闭 曲 面 所 围 成 的 闭 区 域 。 映射到空间 ｘ ｙ ｚ 上 闭 区 域
．
ｙ ≤ ， 围 成 。’
（ ２ ） 计 算 』
统 原 型 。从 收 到 ５ ９ 份 有效问卷中发现 ：
管理 系统 、 仓库管理 系统 、 绩 效 考 核 系统 、 薪 资 核 算 系统 、 人 事 档 案 系统 、 物流管理系统 、 客 户 关 系管 理 系统 １ Ｏ个 系 统 作 为学 生 备 选 系统 ， 学 生 可 以 根 据 自身 的 专 业 特 色 及 兴 趣 方 向 以小 组 为 单 位 自选 。 考 虑 到上 课 时教 师集 中讲 授 的 上课 用 例 应 具 有普 遍性 ， 应采用学生较为熟悉 ， 容 易 接 受 的 系统 。 例 如 ， 图 书 管 理
０ 引 言
计算机基础 、 程序设计 、 数 据 库 等课 程 都 具 有 实 践 环 节 ． 项 目驱 动 法 是 实 践 教 学 中 的 重 要 方 法 。 许 多 学 生 对 计 算 机 项 目都 有 着 各 种 各 样 的憧 憬 ， 在 掌 握 程 序 设 计 基 本 方 法 和 数 据 库 基 本 知识后 ， 完 全 有 能 力 开 发 小 型 的管 理 信 息 系统 。 学 生 来 自不 同 的专业 方 向， 对 不 同 项 目 的兴 趣 程 度 会 存 在 差 异 ， 因 此 选 择 合
面积微元之比正等于函数比行列式的绝对值 阳
即ｄ ｏ － ｙ ＝ Ｉ Ｊ （ ｕ ， ｖ） Ｉ
： Ｉ ． ， （ ｕ ， ） Ｉ ，
悉 的换 元 法 ， 以 下 例解 几个 一般 的换 元 法 。
（ １ ） 设 曲 线 ＝ ｐ ｘ ， Ｙ ‘ ＝ ｑ ｘ （ Ｄ 印＜ ｇ） ， ｘ ｙ ＝ ａ ， ｘ ｙ ＝ ｂ （ Ｄ ＜ Ⅱ ＜ ６） 所 围 的
｛ ＝ ： ， ： 将ｕ 平 面的 区 域Ｄ ， 一 对 一的 变 换为 ｏ ｙ 平面 上
，
借助球面坐标变换 ，其中｛ ｙ ＝ ｒ ｓ ｔ ‘ ｒ ｕ ｐ ｓ ｎ ０ ≤ｒ ≤一 。 。 ， Ｄ ≤‘ Ｐ ≤
的区 域Ｄ ， 且｛ Ｙ ： “ Ｕ ， ： 在Ｄ 上对 与 存在连 续偏导 数，
系统 和学 生管 理 系统 就 是 不错 的 选择 。
（ １ ） 管 理 信 息 系 统 在 企 业 中 已得 到 广 泛 的 应 用 ， 现 阶 段 大 多 数 系 统 都 能 部 分 实 现企 业 的 需求 ， 应 用 比较 成 功 。 同时 ， 我 们
３ 展 望
企 业 的信 息 化 建 设 程 度 不 断 提 升 。 不仅 仅 大 型 企 业 拥 有 自 己 的管 理 信 息 系统 ， 很 多 中 小 型 企 业 也 逐 步 走 上 了 信 息 化 的道
、
具 有 连 续 导 数 ； 函 数 行 列 式
＝
≠ ｏ ， 则 』 ， （ ， ）
ｗ ＝
３ ２
，
将 积 分 区 域 变 换 为 长方 体 ： Ｊ ≤“ ≤３ ， Ｊ ≤ ≤３ ， Ｊ ≤
ｆ （ ， ｙ （
１
１ ｄ “ ｄ ｖ ｄ ｗ
≤ ３ ， 器 ｝ ， ＝ 加 ， 所 以 ９
如作变换｛
（ ｘ ｙ ＝ ｕ
， 此时ｘ ｏ ｙ 平面 上的区 域Ｄ 将变 成“ ０ 平
０ ，
换。
２ 三 重 积 分 的 换 元 法
‘
ｆ ＝ （ Ｕ ． ” ． Ｗ ）
定 理 ２ 设 是 由光 滑 或 分 片光 滑 曲 面所 围成 的 有 界 闭 区
面 上 的 区 域 Ｄ ， ＝ ｛ （ ） ≤ ≤ ｑ ， 。 ≤ ≤ ６ ） ， ． ， ＝ 暑 － ＿ ， 于 是 。＝ Ｊ Ｊ 击也 幽 ＝ ｆ ； １址ｊ １ （ ｂ － ａ ） ｌ ｎ ｝ 。
＇
一 ． ， ＝
＝ 篡
ｏ 枷 ｓ Ｏ － ｒ ｓ ｉ … ｍ ｐ ｓ ｉ ｎ Ｏ
（ ， ｙ ， 。 ， 函 数 行 列 式
说明 ：
÷ ≠ ￣ ｊ ｔ ： ｆ Ｉ ｆ （ ｙ ）
。
厂
【 （ “ ， ） ， ｙ ‘ ） ］ ｌ Ｊ Hale Waihona Puke Baidu ｕ ， ｖ ） ｌ ｄ ｕ ｄ ｖ 。
Ｘ
＿
， 其 中 由 ， Ｊ ≤ ≤ ３ ， ｙ ≤ ≤ ， ≤
且 满足 ： 变换是 一一 对应 的 ；
（ ， Ｗ） ｙ ＝ ｙ（ ， Ｗ） ｚ （ “ ， ， Ｗ） 在
分 析 ：此 题 所 给积 分 区 域 不 易 画 出 ，故 作 变换 ｕ ＝ Ｙ Ａ Ｚ ＿ 、 ＝
分析 ： 平面图形 Ｄ的面积可用二重积分 Ｉ Ｊ ｄ ｘ ｄ ｙ 来计算， 积
６
设 函 数 ／ （ ， Ｙ ） 在 有 界 闭 区 域 Ｄ 连 续 ， 则 变 换 ｛
一 一
将Ｄ
分 区域 Ｄ 由 抛 物 线
进行求解 。
≈ ＝ ｑ ｘ ， （ Ｄ 印＜ ｇ） 以 及双 曲线 缈 ＝ 吗 ＝
（ ２ ） 球 面 坐 标 变 换
ｆ ｘ ＝ ｒ ｓ ｉ ｎ ｘ ｐ ｃ ｏ ｓ Ｏ
１ 二 重 积 分 的换 元 法 ・
定 理 １若 函 数 ｆ （ ｘ ， Ｙ） 在 有 界 闭 区 域 Ｄ 连 续 ， 函 数 组
在 柱 面 坐 标 变换 下所 对 应 的空 间 中 的立 体 。
适 的项 目进 行 差 异化 教 学 尤 为 重 要 。
针对 不 同 的企 业 要 专 门 定 制适 合 企业 自身 需 求 的 系 统 ， 针对 企 业 的特 点 量 身定 做 。 企业 提 出 需 求 的 人 员 如 果 同 时 具 备 专 业 知
识 和计 算 机 （ 尤其是数据库知识 ） ， 则 更 加 有 利 于 保 障 系统 开 发 质量 。 ’
… 一 变 换
【 Ｚ≈ ’
ｒ，
的 实用 性 出发 ，分 析 讨 论 二 重 积 分 三 重 积分 的换 元法 技 巧 ， 旨 在 让 同 学尽 快 准 确 的掌 握 和 运 用 这 一 方 法 ， 略 去 繁 杂 的证 明过
程。
看０ ， （ ， ｙ ， ） ｄ ｘ ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ｆ （ ｒ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｒ ｓ ｉ ｎ ） ｒ ｄ ｒ ｄ Ｏ ｄ ｚ ， 其 中 是
技 经济 市 场
多元 函数积分学换元法的探究
杨 元启
’ （ 三峡 大学理 学 院 ， 湖北 宜昌 ４ ４ ３ ０ ０ ２ ）
摘 要： 多 元 函 数 积分 学 的换 元 法 是 计 算 多重 积 分 的 重 要 技 巧 ， 本 文介 绍 了对 二 重积 分 和 三 重 积 分 的 换 元 法 理 论 。 对 这 几 种 的换 元 法 的计 算 技 巧 作 了粗 略 的例 解分 析 。 关键词 ： 重积分 ； 坐 标 变换 ； 极 坐标 变换 ； 换 元 法