数学九年级下华东师大版27.2.1二次函数的图象与性质(第1课时)课件

已知函数y=－2x2,对于一切x的值，总有函数值y_______
探究１：二次函数的图象
1：画出 y= x2 的图象。
解： （1）列表
x y … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0
以0为中 心选取7个X 值列表
1 1 2 4 3 9 … …
（2）描点
10 Y 8
轴对称 图形
（3）连线
6 4 2
o x
a<o
(3)、增减性
当a＞0时， 在对称轴的左恻(x<0): y随x的增大而减小； 在对称轴的右恻(x>0): y随x的增大而增大。
a＞0
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
当a<0时 在对称轴的左恻(x<0): y随x的增大而增大。 在对称轴的右恻(x>0): y随x的增大而减小。
a<0
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
2
x （2）当 a 0 时，设自变量 x1， 2 的对应值分别为 y1 ，y 2 ， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y 2 吗？为什么？
小结： １．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数． ２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
（1） 顶点都在原点;对称轴是y轴 （２）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口 向下． （３）当a＞0时， 在对称轴的左恻:y随x的增大而减小； 在对称轴的右恻:y随x的增大而增大。 当a<0时， 在对称轴的左恻:y随x的 增大而增大； 在对称轴的右恻:y随x的增大而减小。
-4
-6
答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。
两个图象关于x轴对称。
-8
定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条 曲线叫做抛物线. y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐 标及其规律. y
y=ax2 顶点
对称轴
开口 图象
左侧 x
6 2
右侧 y x y
a＞0
(0,0)最 低点
y轴
10
向上
增 大
减 增 增 小 大 大
a＜0
(0,0) 最高点
向下
y轴
增 大
增 增 减 大 大 小
二次函数y=ax2的图象的性质
(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。
y
a>0
即:直线:x=0, (2)、开口方向： 当a大于0时，开口向上； 当a小 于0时，开口向下。
8
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抛物线y=x2的图象开口向上, 抛物线y=-x2的图象开口向下.
6
4
2
2. 图象的顶点都在原点. y=x2的顶点是图象的最低点, y=-x2的顶点是图象的最高点.
5
-2
o
X
-4
-6
-8
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 顶点都在原点; 2. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 3.还可以发现，｜a｜越大，则开口越小； ｜a｜越小，则开口越大
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
y
o
x
例1、已知y =(m+1)x
图象开口向下
是二次函数且其
（1）求m的值和函数解析式。 （2）x在何范围内，y随x的增大而增大? y
y随x的增大而减小?
o x
练习一
1、已知y=（k+2）x
k2+k-4
是二次函数， ；
且当x>0时，y随X增大而增大，则k=
y x 2 的顶点坐标是 1、二次函数
y 3x 2，当 x 2、抛物线 时， y 随着 x 的增大而 减小，当 x 时，函数 y 有最 值，此时 y ＝ 。
3、根据二次函数 y ax 的图像的性质，回答下列问题： （1）如果点P(m, n) 在抛物线y ax 2 上，那么点Q(m, n)也在 这条抛物线上吗？为什么？
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ A ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？
8
y
6
y=2x2
x
当a＞0时， 对称轴的左恻:y随x的增大而减 小； 对称轴的右恻:y随x的增大而增 大。
4
2
5
-2
o
-4
-6
-8
y=-2x2
当a＜0时，
对称轴的左恻:y随x的 增大而增 大； 对称轴的右恻:y随x的增大而减 小。
6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
-5
-
0
5
x y
… …
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
X
… …
2：请同学们画出 y=-x2 的图象。
x y … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
8
y
6
4
2
3. 探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你
-2
o
x
5
一种什么感觉?
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是： 看二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
已知函数y=2x2,对于一切x的值，总有函数值y_______
O
y
x y=-2 B
A
例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程 组
y=4x2 y=3x+1
O x
回顾练习及提高： ，对称轴是 ， 图像在 x 轴的 （顶点除外），开口方向向 ，当 x 时，y 随着 x 的增大而减小，当 时，y 随着 x 的增大而增大。
2、已知函数
y m 1x
m2 2 m 2
m 2x
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化 规律
例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：
(1)a与b的值；
先代入直线，得到交点再代入二次函数
(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？ (4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形 的面积。