南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵

(3) tr( A) i (i 1,2,, n) .
定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是
A的顺序主子式均为正数，即
k A11
k k
0
k 1,, n
定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是
A的所有主子式全大于零。
定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件 是A的所有主子式均非负。
(3) 矩阵的“≥”是Hermite矩阵集合中的一种偏序 关系。
定理5.3.1 设A, A1, B, B1, C均为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A B( A B) A B( A B);
(2) A B( A B) 对任意n阶可逆矩阵P都有 P H AP P H BP(P H AP P H BP )
矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。
利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可
表示为
f ( x) x H Ax
设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则 f ( x) x H Ax y H By
其中B P H AP.
Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方 项的二次型
定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。 (1) 如果对任意x C n且x 0,都有xH Ax 0，则称xH Ax
为正定的；
(2) 如果对任意x C n ,都有xH Ax 0，则称xH Ax为 半 正 定(非 负 定)的 ；
(3) 如果对任意x C n且x 0,都有xH Ax 0，则称xH Ax 为负定的；
0
0
0 Irs
0
0
0
Onr
(5.1.3)
其中 r = rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按 重数计算）的个数。
(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。
设A C nn , ( A)、 ( A)和 ( A)分 别 表 示A
的 位 于 复 平 面 上 右 半 开平 面 、 左 半 开 平 面 和 虚 轴 上 特 征 值 的 个 数 （ 重特 征 值 按 重 数 计 算 ） 。 记
5.1.1 Hermite矩阵
Hermite矩阵具有如下简单性质： (1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是
Hermite矩阵；
(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵；
(3) 如果 A,B是Hermite矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵；
定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在可逆 线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为
f ( x) x H Ax y1 y1 ys ys ys1 ys1 yr yr
其中 r = rank(A)，s = π(A).
Hermite二次型可分为五种情况
则y 0, x H Ax 0.
r
(4) 若s 0, r n,则规范形为x H Ax yi 2 .对任意 i 1 x C n都有x H Ax 0.
s
r
(5) 若0 s r n,则规范形为x H Ax yi 2 yi 2
i 1
i s 1
对不同的x, x H Ax之值可以大于0,小于0或等于0.
1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
(5.1.12)
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的 标准形。
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn 其中1, 2 ,, n是Hermite矩阵A的特征值。
(1) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1; (2) B A的充分必要条件是 ( AB1 ) 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
min ( A)I A max ( A)I
其中max ( A) 和min ( A)分别表示A的最大和最小特征值。
推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A≤ tr(A) I 。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H AP diag(1 ,, n ), P H BP I
其中1, 2 ,, n是广义特征值问题(5.2.5)的特征值。
5.3 矩阵不等式
定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若A－B≥0， 则称A大于或等于B（或称 B小于或等于 A），记作 A≥B（或B≤A）；若A－B＞0，则称A大于B（或称 B小于A），记作A>B或（B<A）。
定理5.3.4 设A, B均为n 阶Hermite矩阵，则 (1) 若A B 0，则B1 A1 0 ; (2) 若A B 0，则B1 A1 0. 定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB = BA,则 (1) 若A B，则A2 B2; (2) 若A B，则A2 B2 . 定理5.3.6 设A是m n行满秩矩阵, B是n k矩阵,则
(3) A 0 ;
(4) tr( A) i (i 1,2,, n) .
定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是非负定矩阵；
(2) 对任意n 阶可逆矩阵P, PHAP是Hermite非负定 矩阵；
(3) A的n 个特征值均为非负数；
（4）
存
在n阶 可 逆 矩 阵P使 得P
(3) 若A B( A B)，k为正数，则kA kB(kA kB); (4) 若A 0， A 0,则A 0; (5) 若A 0，B 0,则A B 0; (6) 若A B，B C,则A C; (7) 若A B，A1 B1,则A A1 B B1; (8) 若A 0，B 0,则A B 0; (9) 若A B，B C,则A C;
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
定义5.2.1 设A是n阶Hermite矩阵,如果对任意x C n且 x 0,都有x H Ax 0，则称A为正定矩阵,记作A 0;如 果对任意x C n都有x H Ax 0,则称A为非负定(半正定) 矩阵,记作A 0. 正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：
n
(1) 若s r n,则规范形为x H Ax yi 2 . 若x 0, i 1
则y 0, x H Ax 0.
r
(2) 若s r n,则规范形为x H Ax yi 2 . 对任意 i 1
x C n都 有x H Ax 0.
n
(3) 若s 0, r n,则规范形为x H Ax yi 2 .若x 0, i 1
第5章 Hermite矩阵与正定矩阵
5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型 5.2 Hermite正定（非负定）矩阵 5.3 矩阵不等式 5.4 Hermite矩阵的特征值*
5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型
5.1.1 Hermite矩阵 5.1.2 矩阵的惯性 5.1.3 Hermite二次型
In( A) { ( A), ( A), ( A)}
则 称In( A)为 矩 阵A的 惯 性 。
定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是
In( A) In(B)
(5.1.6)
5.1.3 Hermite二次型
由n个复变量x1,, xn，系数为复数的二次齐式
设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，由定义5.3.1得
A B 对任意x C n都有x H Ax x H Bx
注意
(1) 任意两个来自百度文库数总可以比较大小。但任意两个n 阶 Hermite矩阵未必能“比较大小”，即并非A≥B或 B≥A两者之中必有一成立。
(2) 对任意两个实数a和b，如果a ≥ b，而a≯b，则 有a = b。但对两个n(n ≥2)阶Hermite矩阵A与B， 从A ≥B和A≯B，不能推出A = B。
nn
f ( x1,, xn )
aij xi x j
(5.1.10)
i1 j1
其中aij
a
，
ji
称为Herm
ite二
次
型
。
记
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
,
ann
x
x1 x2
xn
则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的
H
AP
Ir
0
r rank( A);
0 0,
其
中
(5) 存在秩为r的矩阵Q使得A Q HQ ;
（6）存在n阶Hermite矩阵S使得A S 2 .
推论5.2.2 设A是n阶Hermite非负定矩阵，其特征值为
1, 2 ,, n，则
(1) 如果Q是任一n m矩阵，则QH AQ 0;
(2) A 0 ;
(10) 若A B，P为n m列满秩矩阵,则P H AP P H BP; (11) 若A B，P为n m矩阵,则P H AP P H BP; (12) 若A 0( A 0)，C 0(C 0), 且AC CA,则
AC 0( AC 0).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是
存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得
A LLH
(5.2.3)
定义5.2.2 设A, B C nn ,如果存在复数和非零向量
x C n使得
Ax Bx
(5.2.5)
则称λ为广义特征值问题 Ax Bx的特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
(1) 单位矩阵I 0； (2) 若A 0,数k 0,则kA 0； (3) 若A 0, B 0,则A B 0； (4) 若A 0, B 0,则A B 0.
定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价： (1) A是正定矩阵； (2) 对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定
定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。
定理5.1.3 设A C nn ，则 A是Hermite矩阵的充分
必要条件是存在酉矩阵U使得
U H AU diag(1 , 2 ,, n )
其中1, 2 ,, n均为实数。
矩阵； (3) A的n 个特征值均为正数；
(4) 存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP = I；
(5) 存在n 阶可逆矩阵Q使得A = QHQ；
(6) 存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A = S2.
推论5.2.1 设A是n阶Hermite正定矩阵，其特征值为
1, 2 ,, n，则
(1) A1是正定矩阵； (2) 如果Q是任一n m列满秩矩阵，则Q H AQ 0;
(4) 若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA；
(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是Hermite矩阵。
定理5.1.1 设A (a jk ) C nn ,则A是Hermite矩阵的充分 必要条件是对任意x C n , x H Ax是实数.
(4) 如果对任意x C n ,都有xH Ax 0，则称xH Ax为 半负定的；
(5) 对不同的x C n , xH Ax有时为正,有时为负,则称xH Ax 为 不 定 的.
定理5.1.9 对Hermite二次型f (x) = xHAx, 有 (1) x H Ax正定的充分必要条件为s r n； (2) x H Ax半正定的充分必要条件为s r n； (3) x H Ax负定的充分必要条件为s 0, r n； (4) x H Ax半负定的充分必要条件为s 0, r n； (5) x H Ax不定的充分必要条件为0 s r n.
(5.1.1)
定理5.1.4 设A Rnn ，则 A是实对称矩阵的充分
必要条件是存在正交矩阵Q使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n ) 其中1, 2 ,, n均为实数。
(5.1.2)
5.1.2 矩阵的惯性
定理5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵
Is
D0