微分方程的积分因子求解法

常微分方程的积分因子求解法

内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。

关键词： 全微分方程，积分因子。

一、 基本知识

定义1.1 对于形如

0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1） 的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程.

易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.

定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为

x

y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].

定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程

),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）

是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.

定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为

x

y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x

y x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得：

x y x y x N ∂∂),(),(μ-y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y

y x M μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。

为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。

二、特殊形式的积分因子的求法

情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为

dx

x d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ∂∂-∂∂),(),(， 即

dx x d )(ln μ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到： 定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N e

x ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(1)(μ.

类似地 定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M e y ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-),(),(),(1)(μ.

例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解.

解: 因 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ⎰=dx x p e x )()(μ.

方程两边同乘以⎰=dx x p e x )()(μ得 ⎰dx x p e )(0)]()([)(=⎰+-dy e dx x q y x p dx x p ,

即⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰-⎰⎰dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为⎰⎰-⎰dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）. 情况 2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得

dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 , 于是得到:

定理 2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为

dz x y x N y y x M y x M y x N Ce y x z ⎰=±=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数).

例 2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.

解: 因 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 =y x +-2 故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ⎰=++-)(2y x d y x e

=2)(1y x +. 情况3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得

dz z d )(ln μ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:

定理 2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为