圆轴的扭转

实心圆截面
d
IP A 2dA 02 2 2 d
d 4
32
WP
D3
16
空心圆截面
O d
D
令内外径比为 =d/D，则有：
Ip
D/2
d/2
2 2
d
D4 (1 4 )
32
WP
D3
16
(1 4 )
一、强度条件
第四节 圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时 的强度条件
max
T WP
[ ]
扭转强度条件同样可以用来解决三类问题：
实心圆截面
d
IP A 2dA 02 2 2 d
d 4
32
WP
D3
16
空心圆截面
O d
D
令内外径比为 =d/D，则有：
Ip
D/2
d/2
2 2
d
D4 (1 4 )
32
WP
D3
16
(1 4 )
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的圆形截面直杆， 在此圆轴的表面各画几条相平行的圆周线 和纵向线；在轴的两端施加一对力偶矩 M 使其产生扭转变形。
横截面积
T
A dA
AG 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
G
d
dx
A
2dA
极惯性矩
IP
2dA
A
则得：
T
GIP
d
dx
物理关系式 比较
G
d
dx
T
IP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
切应力最大值：
max
TR IP
令
WP
I / R 称为抗扭截面系数 P
max
T WP
圆柱的极惯性矩
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩，并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩 1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
T22 M C 1.2kN m
3）作出扭矩图如图。
=1.8kNm 1
=3kNm =1.2kNm
2
1
2
1.2kNm
1.8kNm
扭矩图的简捷画法
（a）
（b）
三、扭矩图
扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的变化规律，取平行于轴线的横 坐标表示横截面的位置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩的变化图。
当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必 须用截面法分段求出。
截面法求扭矩 的一般步骤
假截留半； 内力代换； 内外平衡。
解：1）画扭矩图：
横截面积
T
A dA
AG 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
G
d
dx
A
2dA
极惯性矩
IP
2dA
A
则得：
T
GIP
d
dx
物理关系式 比较
G
d
dx
T
IP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
切应力最大值：
max
TR IP
令
WP
I / R 称为抗扭截面系数 P
max
T WP
圆柱的极惯性矩
扭矩：如图所示为一根圆轴在一对 大小相等、转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其力偶矩称为 扭矩。
左
取左分析：
n
Mix 0 T M 0
右
i1 得 T M
同理取右段分析可得：
T M
二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇指的指向离开截面时，规定扭 矩为正，如图a所示；若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特
点是：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂
A
BO
直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，
使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。
扭转角：任意两横截面间的相对角位移。
A
BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电动机的主轴及机器的 传动轴等。
观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距保持不变，仅绕轴线作相对转 动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，且其形状大小不变，横 截面上的半径仍保持为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上的应力关系
tan AA Rd K A
KA dx
A'
B L B'
tan
BB LB
d
dx
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数，因此各点的切应变与该点到 圆心的距离 成正比。
二、应力应变关系
剪切胡克定律
G
各点的切应力
G
G
d
dx
三、静力学关系
dA
RBaidu Nhomakorabea
dA
取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作用在微面积上的力dA对截面 中心之距，整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩T：
观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距保持不变，仅绕轴线作相对转 动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为平面，且其形状大小不变，横 截面上的半径仍保持为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上的应力关系
tan AA Rd K A
KA dx
A'
B L B'
tan
BB LB
d
dx
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数，因此各点的切应变与该点到 圆心的距离 成正比。
二、应力应变关系
剪切胡克定律
G
各点的切应力
G
G
d
dx
三、静力学关系
dA
R
dA
取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作用在微面积上的力dA对截面 中心之距，整个横截面上这些力矩的合成结果应等于扭矩T：
二、外力偶矩的计算
M
9550
P n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿·米（N·ｍ） P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW） n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W）时，上式变为：
M
7030
P n
第二节 扭矩和扭矩图
一、扭矩
强度校核 设计截面尺寸 确定许用载荷
例6-2 如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直径d1=40mm；BD段为空心 部分，外径D =55mm，内径 d =45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动轮 C输入的外力偶矩为MC=1.8kN·ｍ，从动轮A、D传递的外力偶矩分别为 MA=0.8kN·m，MD=1kN·m，材料的许用切应力[ ]=80MPa。试校核该轴的强度。
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变量等于外力偶矩的数值。利用 这一突变特性，可较快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法的快捷简便。
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的圆形截面直杆， 在此圆轴的表面各画几条相平行的圆周线 和纵向线；在轴的两端施加一对力偶矩 M 使其产生扭转变形。