第3章 离散傅里叶变换(DFT)讲解
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
DFT是信号处理的桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)，
二是快速运算(提高实时性)。
傅氏变换
离散化
信号处理
DFT(FFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
2 k N
j Im Z
Z e
3 4 5 6
j
2 k N
2
1
2 N
可见，X (k )是Z变换 X ( Z ) 在单位圆上采样，采样点在单 位圆上的N个等分点上，且第 一个抽样点为k=0。
k=0 ReZ
7 (N-1)
图
X(k)与X(z)的关系
图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系
N 1
kn N
kn (3.1.8) x(n)WN n 0
N 1
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1,
, N-1 (3.1.1)
和 DFT的定义(3.1.1)相比，可知X(k)是X ( k ) 主值序列。
所以
~
X (k ) X (k ) RN (k )
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x(n)
~
~
m
~
x(n mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x(n ) x(n ) RN (n )
~
主值区间：周期序列 x ( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
主值序列：而主值区间上的序列称为 x ( n) 的主值序列。
, N-1 (3.1.2)
, N-1 (3.1.1)
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
下面证明x(n)=IDFT［X(k)］。
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
1 N 1 N 1 km kn IDFT [ X (k )] [ x(m)WN ]WN N k 0 m0
kn e X (k ) x(n)W16 n 0
n 0
16
3
j
2 kn 16
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
X (k ) x(n)W8kn e
n 0
N 0
7
3
j
2 kn 8
e
3 j k 8
0 k N-1
X (e j ) FT [ x(n)] x(n)e jn
n 0
N 1
比较上面三式可得
X (k ) X ( z )
z e
j
2 k N
, ,
0 k N-1 0 k N-1
(3.1.3) (3.1.4)
X (k ) X (e j )
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT (1)设变换区间N=8， 则
X (k ) x(n)W8kn
n 0
3 j k 8
7
n 0
3
e
j
2 kn 8
e
sin( k ) 2 , k 0,1, , 7 sin( k ) 8
(2)设变换区间N=16， 则
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
FT
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
n 0 kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN N 1 n 0 N 1
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换(DFT)为
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1, n 0 N 1
, N-1 (3.1.1)
式中 WN e
j
2 N
，N称为DFT变换区间长度N≥M。
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) x((n)) N 将
则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
Байду номын сангаас
~
例 3.1.1，将x(n)=R4(n) ，~ 以周期4进行延拓 X (k )
X (k )
例 3.1.1，将x(n)=R4(n) ，~ 以周期32进行延拓 X (k )
X (k )
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果 x1(n) 和 x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为 N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b为常数， 即y(n)的长度为N=max［N1, N2］，
~
x(n) x((n)) N
~
(3.1.7)
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
x (n)的离散傅里叶级数DFS表示为
X (k ) x(n)W
n 0 ~ N 1 ~ kn N
~
x((n)) N W
n 0
N 1 n 0
交换求和次序
N 1
m 0
N 1
1 1 k ( mn ) WN {0 N k 0
IDFT［X(k)］=x(n),
1 N 1 k ( mn ) x(m) WN N k 0
m n MN , m n MN ,
M为整数
所以， 在变换区间上满足下式：
0≤n≤N-1
j
X (e )
n
x(n)e j n
X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为
1 N 1 kn X (n) IDFT [ X (k )] X (k )WN , k=0, 1, N n 0
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1, n 0 N 1
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
DFT是信号处理的桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)，
二是快速运算(提高实时性)。
傅氏变换
离散化
信号处理
DFT(FFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
2 k N
j Im Z
Z e
3 4 5 6
j
2 k N
2
1
2 N
可见，X (k )是Z变换 X ( Z ) 在单位圆上采样，采样点在单 位圆上的N个等分点上，且第 一个抽样点为k=0。
k=0 ReZ
7 (N-1)
图
X(k)与X(z)的关系
图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系
N 1
kn N
kn (3.1.8) x(n)WN n 0
N 1
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1,
, N-1 (3.1.1)
和 DFT的定义(3.1.1)相比，可知X(k)是X ( k ) 主值序列。
所以
~
X (k ) X (k ) RN (k )
x(n)为长度为N的有限长序列
x(n) 是长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列
x(n)
~
~
m
~
x(n mN )
(3.1.5) (3.1.6)
x(n ) x(n ) RN (n )
~
主值区间：周期序列 x ( n) 从n=0到N-1的第一个周期。
主值序列：而主值区间上的序列称为 x ( n) 的主值序列。
, N-1 (3.1.2)
, N-1 (3.1.1)
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
下面证明x(n)=IDFT［X(k)］。
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有
1 N 1 N 1 km kn IDFT [ X (k )] [ x(m)WN ]WN N k 0 m0
kn e X (k ) x(n)W16 n 0
n 0
16
3
j
2 kn 16
e
j
3 k 16
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
X (k ) x(n)W8kn e
n 0
N 0
7
3
j
2 kn 8
e
3 j k 8
0 k N-1
X (e j ) FT [ x(n)] x(n)e jn
n 0
N 1
比较上面三式可得
X (k ) X ( z )
z e
j
2 k N
, ,
0 k N-1 0 k N-1
(3.1.3) (3.1.4)
X (k ) X (e j )
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT (1)设变换区间N=8， 则
X (k ) x(n)W8kn
n 0
3 j k 8
7
n 0
3
e
j
2 kn 8
e
sin( k ) 2 , k 0,1, , 7 sin( k ) 8
(2)设变换区间N=16， 则
sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16
FT
3.1.2 DFT和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为N， 其Z变换和DFT分别为：
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
n 0 kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN N 1 n 0 N 1
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换(DFT)为
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1, n 0 N 1
, N-1 (3.1.1)
式中 WN e
j
2 N
，N称为DFT变换区间长度N≥M。
~
将 x(n)以N为周期进行周期延拓得到 x(n) x((n)) N 将
则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列， 长度为N， 则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
Байду номын сангаас
~
例 3.1.1，将x(n)=R4(n) ，~ 以周期4进行延拓 X (k )
X (k )
例 3.1.1，将x(n)=R4(n) ，~ 以周期32进行延拓 X (k )
X (k )
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果 x1(n) 和 x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为 N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、b为常数， 即y(n)的长度为N=max［N1, N2］，
~
x(n) x((n)) N
~
(3.1.7)
x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列
图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓
x (n)的离散傅里叶级数DFS表示为
X (k ) x(n)W
n 0 ~ N 1 ~ kn N
~
x((n)) N W
n 0
N 1 n 0
交换求和次序
N 1
m 0
N 1
1 1 k ( mn ) WN {0 N k 0
IDFT［X(k)］=x(n),
1 N 1 k ( mn ) x(m) WN N k 0
m n MN , m n MN ,
M为整数
所以， 在变换区间上满足下式：
0≤n≤N-1
j
X (e )
n
x(n)e j n
X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为
1 N 1 kn X (n) IDFT [ X (k )] X (k )WN , k=0, 1, N n 0
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , k=0, 1, n 0 N 1