对称矩阵对角化

a1
amm
a 1 m1
am
s
s
)
p
( ) p 即()为（A)的特征值
（3）不同的特征值对应的特征向量线性无关 定理：设1,2 , ,m是方阵A的m个特征值，p1, p2, , pm是依次与之
对应的特征向量，若1,2 , ,m各不相等，则p1, p2, , pm线性无关8 。
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
（5）若P为正交矩阵，x, y为列向量，则y Px为y到x的正交变换
（6）性质：正交变换不改变向量的长度
（7）对正交矩阵A的列向组成立的，对行向量组一样成立 3
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量
四、特征值与特征向量的概念
1.定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果 λ和 n 维非零列向量 x 使关
证：为A的特征值, p为A对应的特征向量,则由以上结论：
Ap p, Ak p k p, A1 p 1 p, As p s p
( A) p a0 p a1 Ap am Am p am1 A1 p ams As p
a0 p a1p
amm
p
a 1 m1
p
a s ms
p
(a0
系式：
（1）
成立，那么称数 λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 λ的特征向量.
注意：定义的几个要点
（1） A 是 n 阶矩阵，即方阵
（2）特征值 λ是数，
（3）特征向量x 是非零向量 2.如何求特征值与特征向量
（1）特征值的求法
4
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量 由定义（1）式也可写成:
若 n 阶矩阵 A 的特ห้องสมุดไป่ตู้值为 1 , 2 , , n 则
6
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
1)1 2 n a11 a22 ann 2) 12 n A
（2） 若是矩阵A的特征值,( )是关于的多项式,则( )是f ( A)
的特征值（A含负指数）
1) 设λ是方阵 A 的特征值，证明: k是Ak的特征值
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本次课讲第五章第二三节：特征值应用 相似矩阵与对角化
下次课讲第五章第四节：二次型及标准 化
下次上课时交作业P43-44
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第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
复习：正交矩阵与正交变换的概念
定义4 如果 n 阶矩阵 A 满足
（即
），
那么称 A 为正交矩阵.
（1）由逆矩阵可交换定义得：若A正交，则A1 AT ,
证： 因λ是 A 的特征值，所以存在 使得
于是
依次类推可得:
Ak p k p即：k是Ak的特征值 2)若A可 逆 ，A的 特 征 值 为， 则A1的 特 征 值 为1
证：当A可逆时，由Ap p得：p A1 p
因为p 0,所以 0，，故：A1 p 1 p
7
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
证 设有常数
，
即 则 同理:
将上面各式写成矩阵的形式:
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第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 或:
当
个不相同时， 范德蒙德行列式
则该方程组有唯一零解
但
， 所以
所以向量组
线性无关.
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第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化
例（ 1
改
编
自05数
学3，13分
）
设A为3阶
矩
阵
，
1，
2，
是
3
线
性
无
关
的3维 列 向 量 ， 且 满 足 ：A1
即若A正交，则AT A AAT E，即AT , A1, A*均正交
（2）由定义不难推出若A正交，则：A 2 1
（3）设正交矩阵A (a1,a2 , ,an ),则： aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2, , n. 即A的 列 向 量 组 是 长 度 都 为1的 正 交 向 量 组
经常地，记
称为方阵 A 的特征多项式.
5
第十三讲：基与正交基，特征值与特征向量
（2）特征向量的求法：
设
为方阵 A 的一个特征值，
则由方程
可求得非零解
，
便是 A 的对应于特征值 的特征向量.
注意：对应每一个特征值i ,都有齐次方程组（A i E)x 0,其解就是
对 应 于i的 特 征 向 量 ； 因 此 ：
1
2
3，A 2
2 2
，
3
A3 22 33 （1）求矩阵B, 使得A(1，2，3 ) (1，2，3 )B;
( 2)求 矩 阵B的 特 征 值 与 特 征 向 量 。
解：（1）由已知，A(1，2，3 ) (1 2 3，22 3，22 33 )
1 0 0
(1，
2，
3
)
1
2
2
(1，
2，
2
第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 A (a1,a2 , ,an )， AT A E, AT A (a1,a2 , ,an )T (a1,a2 , ,an )
a1T
a1T a1
aa2nTT (a1
,
a2
,
,an )
a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
1： 说 特 征 向 量 是 指 对 应于 特 征 值i的 特 征 向 量 ；
2：每一个i对应于一个齐次方程组（A i E )x 0，其解有多少，
对 应 于i的 特 征 向 量 就 有 多 少 。
即：所有的特征向量就是求出（A i E )x 0所有的解，即通解 3.特征值与特征向量的性质 （1）利用特征值计算行列式
3
)B
1 1 3
所以
，B
1 1
0 2
0 2
1 1 3
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第十三讲：特征值应用，相似矩阵与对角化 (2)先求特征值：
1 0 0 2 2
B E 1 2 2 (1 ) 1 3
1 1 3 (1 )[(2 )(3 ) 2] (1 )(4 5 2 )
即
（2）
由于特征向量x非零，所以方程（2）有非零解的充要条件是
（3）
即
（3*）
（3）式是以λ为未知数的一元 n 次方程，称为 A 的特征方程 在方程（3）或（3*）中A 的特征值λ就是特征方程的根.
因此, n 阶矩阵 A 有 n 个特征值(重根按重数计算).
所以，求特征值就是解特征方程求出n个根的过程
a1Tan 1 0 0
a2T an
anT an
0 0
1 0
0 1
即：aiTai 1,aiTa j 0, i j,且i, j 1,2, , n.
即A的列向量组是长度都为1的正交向量组
（4）因为正交向量组是线性无关的，由（3）的结论,若A正交，
则A的列向量组是Rn的一个规范正交基