第2章——多自由度系统的振动——固有振型

3k − mω 2
−k
0
−k
2k − mω 2
−k = 0
0
−k
3k − mω 2
(ω 2 )3
−
8
⎛ ⎜⎝
k m
⎞ ⎟⎠
(ω
2
)
2
+
19
⎛ ⎜⎝
k m
⎞2 ⎟⎠
ω2
−
12
⎛ ⎜⎝
k m
⎞3 ⎟⎠
=
0
固有频率:
ω1 =
k, m
ω2 =
3k , m
ω3 = 2
k m
理解固有振型
⎛ ⎡3k
⎜ ⎜
⎢⎢−k
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
(K
−
λ2 i
M
)
A
=
0
方程组中有且只有一个方程不独立
( ) ( ) ( ) ⎧
⎪
K11
−
λ2 i
M11
A( i ) 1
+
K12
−
λ M 2 i 12
A( i ) 2
+L+
K1n − λi2M1n
A( i ) n
=
0
( ) ( ) ( ) ⎪
⎪⎪ ⎨
K 21
−
λ2 i
①
设系统的第s阶固有振型为：ρ (s)
满足： (K − λs2M )ρ (s) = 0
前乘 ρ (r)T
ρ (r)T (K − λs2M )ρ (s) = 0
②
①-②
ρ (s)T K ρ (r) − ρ (r)T K ρ (s) − λr2 ρ (s)T M ρ (r) + λs2 ρ (r)T M ρ (s) = 0
q
=
⎢⎢q2 ⎢M
⎥ ⎥ ⎥
---系统的广义坐标的n阶列阵；
⎢⎥
⎣qn ⎦
⎡ A1 ⎤
A
=
⎢ ⎢ ⎢
A2 M
⎥ ⎥ ⎥
---系统的广义坐标幅值列阵；
⎢⎥
5
⎣ An ⎦
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
q = Asin(λt +θ )
将上式代入振动方程式，得到关于Ai的线性齐次代数方程式组
ρ (r)T (K − λs2M )ρ (s) = 0
上式称为第r阶振型和第s型关于刚度矩阵的正交条件。 Kr称为广义刚度。
固有振型的正交性
固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的简洁表示
( ) Φ(i) T M Φ( j) = 0 ( ) Φ(i) T KΦ(i) = 0
+
L
+
λ Kn−11n −
M 2
i n−1n
A( i ) n
=
0
( ) ( ) ( ) ⎪
⎪⎩
K n1
−
λ2 i
M
n1
A( i ) 1
+
Kn2
−
λ M 2 i n2
A( i ) 2
+L+
Knn − λi2M nn
A( i ) n
=
0
( ) ( ) ( ) ⎧
⎪
k11
−
λ m 2 i 11
A(i) 1
M
ϕ
r
ϕr
Mr
特点：使得理论公式推演方便，表达简洁，易于计算。
固有振型的正交性
2. 固有振型最重要的性质是正交性。
设系统的第r阶固有振型为：ρ (r)
代入方程式： (K− λ 2M)A = 0
前乘 ρ (s)T
满足： (K − λr2M )ρ (r) = 0
ρ (s)T (K − λr2M )ρ (r) = 0
1st垂直弯曲
2nd垂直弯曲
18
书上例题P46：例2.8
理解固有振型
【题】 ：图示的三自由度系统，试计算系统的固有频率和固 有振型。P46
解:系统的运动方程为:
Mu&&(t) + Ku(t) = 0
其中:
⎡m 0 0 ⎤
M
=
⎢ ⎢
0
m
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 m⎥⎦
⎡3k −k 0 ⎤ K =⎢⎢−k 2k −k⎥⎥
k3
m1
m2
固有振动：
u1 (t )
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
sin
⎛ ⎜⎜⎝
k m
t
+ θ1
⎞ ⎟⎟⎠ ,
u2
(t )
=
⎡−1⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
sin
⎛ ⎜⎜⎝
(1 + 2μ )k
m
t
+θ2
⎞ ⎟⎟⎠
u1=1 u2=1
u2=1
1
u1= 1 2 节
点
如何理解固有振型
从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
x1 =1
第二阶固有振型:
x
x1 =1
第三阶固有振型:
x
x1 =1
x2 = 2
x2 = 0 节点
x2 = −1
x3 =1
x3 = −1
x3 =1
ω1 =
k m
⎧1⎫ φ(1) = ⎪⎨2⎪⎬
⎪⎩1⎭⎪
ω2 =
3k m
⎧1⎫
φ(2)
=
⎪ ⎨
0
⎪ ⎬
⎪⎩−1⎭⎪
ω3 = 2
k m
⎧1⎫ φ(3) = ⎪⎨−1⎬⎪
从物理上看：第i阶固有振型向量 ϕi 中的一列元素，就
是系统做第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相
对比值ϕ，i 描述了系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，
称为第i阶固有振型。虽然各个坐标上振幅的精确值并没有 确定，但是所表现的系统的振动形态已经确定。
1st水平弯曲 2nd水平弯曲
1st扭转 2nd扭转
⎪⎩ 1 ⎪⎭
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
1.固有振型的归一化
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡−2⎤
ϕr
=
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣−3⎥⎦
⎡ 2/3⎤
ϕr = ⎢⎢−1/ 3⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
λi2 为特征根（特征值）
仅取决于系统本身的质量和刚度
λi2称为系统的第 i 阶固有频率
正定系统(K、M均为正定矩阵) 系统的全部固有频率均为正实数.
8
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
对于每一个固有频率λr ，由上式可以求得对应的振幅矢量 A(r) 。 K− λ2M = 0
所以，A(r) 的n个元素 A2(r)，…，An(r) 只有n-1个方程式线性独立的。 对于每一个 λr2 ，只能得到一组 A2(r)，…，An(r) 之间的比例， 即只能得到包含一个待定常数的振动形状。
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡1⎤
ϕr* = ⎢⎢−1／2⎥⎥
⎢⎣ 3／2 ⎥⎦
理解固有振型
② 按自由度中最大幅值归一化：
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡ 0.66 ⎤
ϕr* = ⎢⎢−0.33⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
③ 按模态质量归一化
ϕr
ϕ
* r
=
ϕr
=
ϕ
T r
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
求解时，只需任意n-1个方程式，例如，取后n-1个方程式。 取 A（nr)为自由未知量，这时，后n-1个方程式可改写为
由此，可以解得其余n-1个元素，可得振幅矢量 A（nr)的n个元素之间 的比例关系：
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
归一化
⎪ ⎪
A(i) n−1
⎪ ⎪
⎪⎩ 1 ⎪⎭
【例】设图中二自由度系统的物理参数为
,
,
m1 = m2 = m k1 = k3 = k, k2 = μk
0 < μ ≤1 ,确定系统的固有振动.
u1
u2
系统运动方程：
⎡m
⎢ ⎣
0
0⎤ m⎥⎦
⎧⎨⎩uu&&&&12
⎫ ⎬ ⎭
+
⎡(1+ μ)k
⎢ ⎣
−μk
也可以写成：A(r) = ρ (r) p(r)
ρ (r)
=
⎡ ⎢ ⎢
ρ (r 1
ρ (r 2
) )
⎢⎢L
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
ρ
(r n
)
⎦⎥
A(r )
=
⎡ ⎢ ⎢
A1( r A2( r
) )
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎢L
⎥ ⎥
⎢⎣ An(r) ⎦⎥
p(r) 比例常数
系统按第r阶固有频率作主振动的振动形式 即固有振型。
固有振型的正交性
2. 固有振型最重要的性质是正交性。
①-②
ρ (s)T K ρ (r) − ρ (r)T K ρ (s) − λr2 ρ (s)T M ρ (r) + λs2 ρ (r)T M ρ (s) = 0
由于M和K都是对称矩阵， 故有：
ρ (s)T K ρ (r) = ρ (r)T K ρ (s)
=
2
−k + 2k − kϕ3(1) = 0
ϕ (1) 3
=1
同理，将ω2代入到特征值问题的方程中，解方程得到
ϕ (2) 1
=1
同理，将ω3代入到特征值问题的方程中，解方程得到
ϕ (3) 1
=1
ϕ (2) 2
=
0
ϕ(2) 3
= −1
ϕ(3) 2
=
−1
ϕ (3) 3
=1
理解固有振型
第一阶固有振型:
x
( ) ( ) ( ) ⎪
⎪⎩
λ k − m n−11
2 i n−11
A(i) 1
+L+
λ k − m n−1n−1
2 i n−1n−1
A(i) n-1
=
−
λ kn−11n −
m 2
i n−1n
A(i) n
解方程
A( 1
i
)
(
An(i
)
)、A(i 2
)
(
An(i
)
)、L
A(i) n−1
(
An(i
)
)
⎝⎜ ⎣⎢ 0
−k 2k −k
0 ⎤ ⎡m
−k
⎥ ⎥
−
ω
2
⎢ ⎢
0
3k ⎦⎥ ⎣⎢ 0
0 m 0
0⎤
0
⎥ ⎥
m⎦⎥
⎞ ⎟ ⎟ ⎠⎟
⎧⎪⎨ϕϕ12 ⎩⎪ϕ3
⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪
=
⎧0⎫ ⎪⎨0⎪⎬ ⎩⎪0⎭⎪
ω = ω1 =
k m
⎡3k − k
⎢ ⎢
−k
⎢⎣ 0
−k 2k − k
−k
0 −k 3k −
k
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎧ϕ ⎪⎨ϕ
(1) 1
(1) 2
⎪⎩ϕ
(1) 3
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
=
⎧0⎫
⎪ ⎨
0
⎪ ⎬
⎩⎪0 ⎭⎪
展开
−kϕ1(1)
2kϕ1(1)
+
kϕ
(1) 2
−
kϕ
(1) 2
− kϕ3(1)
= =
0⎫
0
⎪ ⎬
− kϕ2(1)
+ 2kϕ3(1)
=
0
⎪ ⎭
令：ϕ1(1) = 1，则
2k
−
k
ϕ
(1) 2
=
0
wenku.baidu.com
ϕ (1) 2
+L+
λ k − m 2 1n−1 i 1n−1
A(i) n-1
=
−
k1n − λi2m1n
A(i) n
( ) ( ) ( ) ⎪⎪
⎨
k21
−
λ m 2 i 21
A(i) 1
+
L+
λ k − m 2n−1
2 i 2n−1
A(i) n-1
=
−
k2n − λi2m2n
A(i) n
⎪ LL LL LL LL LL LL LL L
船体振动基础
1
第2章 多自由度系统的振动
一、引言 二、两自由度系统的振动
2
第三章：多自由度系统的振动分析
第6周 (2)：
1.理解固有振型
2.固有振型的正交性
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
1、多自由度系统无阻尼自由振动方程式的一般形式： Mq&& + Kq = 0
−μk (1+ μ)k
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎩⎨uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧0⎫ ⎩⎨0⎭⎬
k1 m1
k2
k3
m2
Mu&& + Ku = 0
(K −ω2M)ϕ = 0
有非零ϕ
ϕ1
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
ϕ2
=
⎡−1⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
det(K −ω2M) = 0
ω1 =
k, m
ω2 =
(1+ 2μ)k
m
u1
u2
k1
k2
L
L K1n − λ 2M1n
L K2n − λ2M2n = 0
L
L
Kn1 − λ 2M n1 Kn2 − λ 2M n2 L Knn − λ 2M nn
7
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
展开行列式为一个关于λ 2的n次多项式，称之为特征方程
0 < λ12 ≤ λ22 ≤ LL ≤ λn2
对应固有频率
ω i 的振幅间的
比例关系—— 振幅比
A(i)
=
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨
A(i 1
A(i 2
) )
( An(i ( An(i M
) )
) )
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬
⎪ ⎪
A(i) n−1
(
An(i
)
)⎪⎪
⎪⎩
A(i) n
⎪⎭
⎧ A(i) ⎫
取
A(i) n
=1
A(i)
=
⎪ ⎪⎪ ⎨
1
A(i 2 M
)
⎪ ⎪⎪ ⎬
⎢⎣ 0 −k 3k⎥⎦
理解固有振型
广义特征值问题:
⎛ ⎡3k
⎜ ⎜
⎢⎢ −
k
⎜⎝ ⎢⎣ 0
−k 2k −k
0 ⎤ ⎡m
−k
⎥ ⎥
−
ω
2
⎢ ⎢
0
3k ⎥⎦
⎢⎣ 0
0 m 0
0 0 m
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎧⎪⎨ϕϕ12 ⎩⎪ϕ 3
⎫ ⎪ ⎬ ⎭⎪
=
⎧0⎫
⎪ ⎨
0
⎪ ⎬
⎩⎪ 0 ⎭⎪
特征方程:
矩阵形式为： (K− λ 2M)A = 0
6
3. 多自由度系统的自由振动 (P45)
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
(K− λ 2M)A = 0
特征行列式
K− λ2M = 0
齐次方程组存在非零 解的充要条件
K11 − λ 2M11 K21 − λ 2M 21
L
K12 − λ 2M12 K22 − λ 2M 22
M
21
A( i ) 1
+
K22
−
λ M 2 i 22
A( i ) 2
+L+
K2n − λi2M 2n
A( i ) n
=
0
LL LL LL LL LL LL LL LL L
( ) ( ) ( ) ⎪
⎪
λ K − M n−11
2 i n−11
A( i ) 1
+
λ K − M n−12
2 i n−12
A( i ) 2
展开为：
假设系统偏离平衡位置作自由 振动时，各广义坐标qi 均按同 频率和同相位作简谐振动
假设方程通解为：q = Asin(λt + θ )
4
3. 多自由度系统的自由振动 (P45)
¾ 多自由度系统的固有频率和振型
q = Asin(λt +θ )
λ − 无阻尼自由振动的固有频率；
θ − 相位角；
⎡q1 ⎤
ρ (s)T M ρ (r) = ρ (r)T M ρ (s)
(λs2 − λr2 )ρ (r)T M ρ (s) = 0
上式称为第r阶振型和第s型关于质量矩阵的正交条件。 Mr称为广义质量。
固有振型的正交性
2. 固有振型最重要的性质是正交性。
(K − λs2M )ρ (s) = 0
ρ (r)T 乘以上式前面