线性规划的对偶问题

线性规划的对偶问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

第二章线性规划的对偶问题

习题

2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题

(1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4

st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4

x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1

x1，x3≥0，x2，x4无约束

(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3

st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15

x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5

x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束

2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：

（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；

（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；

（4）模型中全部x1用3

'x代换。

1

2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4

st. x1＋2x2＋ x4≥3

3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6

x3 ＋ x4＝2

x1 ＋ x3 ≥2

x j≥0（j＝1,2,3,4）

(1) 写出其对偶问题；

(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量

st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1

2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2

x j≥0（j＝1,2,3,4）

其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3

st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60

2x1＋ x2＋2x3≤40

x1＋3x2＋2x3≤80

x j≥0 （j＝1,2,3）

（1）写出其对偶问题

（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；

（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；

（4）比较（2）和（3）计算结果。

2.6 已知线性规划问题 max z ＝10x 1＋5x 2

st. 3x 1＋4x 2≤9

5x 1＋2x 2≤8 x j ≥0（j ＝1,2）

用单纯形法求得最终表如下表所示：

试用灵敏度分析的方法分别判断：

（1）目标函数系数c 1或c 2分别在什么范围内变动，上述最优解不变； （2）约束条件右端项b 1，b 2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；

（3）问题的目标函数变为max z ＝12x 1＋4x 2时上述最优解的变化；

（4）约束条件右端项由⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛89变为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1911时上述最优解的变化。 2.7 线性规划问题如下： max z ＝—5x 1＋5x 2＋13x 3

st. —x 1＋x 2＋3x 3≤20 ①

12x 1＋4x 2＋10x 3≤90 ② x j ≥0 （j ＝1,2,3）

先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？ （1） 约束条件①的右端常数由20变为30； （2） 约束条件②的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x 3的系数由13变为8；

（4） x 1的系数列向量由（—1，12）T 变为（0，5）T

； （5） 增加一个约束条件③：2x 1＋3x 2＋5x 3≤50；

（6） 将原约束条件②改变为：10x 1＋5x 2＋10x 3≤100。

2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下：

（1）给出a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 的值或表达式； （2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值；

（3）用a+?a ，b+?b 分别代替a 和b ，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a ，?b 满足的范围。

2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸310千克，每打日记本用白坯纸3

40

千克，每箱练习本用白坯纸

3

80

千克。又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。试确定：

（1）现有生产条件下获利最大的方案；

（2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？

2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。