向量组与矩阵的秩

22
为把ar3
,
ar5用ar1
,
r a2
,
r a4
线性表示，
把 A 再变成行最简形矩阵。
ar1
,
ar 2
,
ar3
,
ar 4
,
ar5
行变换 ~
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
4
3 3
,
即得aarr35
4aarr11
3ara2r,2
3ar 4 .
0
0
0
0
0
1 0 2 3 5
3.
设A
(2)T中任意r 1个向量(如果有的话)都线性相关. 则称1,2,L r是向量组T的一个最大线性无关向量组,
简称最大无关组,数r称为向量组T的秩.
定理2.7 : 矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。
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例2.7 : 求下列向量组的一个最大无关组，并把
1
因此,包含D的两个向量 1,2线性无关,
2 1 0
1
1 , 2 ,3 , 4中任意3个向量都线性相关。
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有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？
实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的 秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。 因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型 矩阵，就可较快求出矩阵的秩。
| A | 0
则称A为满秩矩阵;
否则，称A为降秩矩阵. 另外，零矩阵的秩为0.
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4
如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子 式都为0，则矩阵A的秩等于r.
例 求矩阵的秩 1 2 3
A
2
3
5
解
4 7 1
在A中，容易看出一个2阶子式
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8
定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r 个行 向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线 性相关。
1 2 1 2 1
矩阵A
1
1
1
1
2
2 3 2 1 3
1
3
1
5
0
1 可验证: R(A)=2,这里A的2阶子式 D
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1
第2.3节 向量组与矩阵的秩
如何判断向量组是否线性相关？
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2
A (aij )mn 矩阵,在A中任取k行k列,由这些行列相交 处的元素按原来的相对位置构成的k阶行列式,称为 A的k阶子式,若A是一个n阶方阵,则只有一个n阶子 式,就是A的行列式
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11
例如
1 2 -8 1 0 3 -2 9 0
0
4
0
3
0
0
4
8
1
都是行阶梯型矩阵。
0 0 5 8 0 0 0 2 4
0 0 0 -2 ， 0 0 0 0 0
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4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
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16
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A=
1 4
1 6
2 2
1 2
4
0
4 0
1 0
1 0
0 1
3
3
3
6
9
7
9
0
0
0
0
0
1 0 0
因为(1T
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推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
2
6
2
0
2
,
3 6 0 4 3
求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。
解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
行变换 1 0 2 0 5
A
~
0
1
1
0
2
,
知R(
A)
3,
故ar1
唯一
,
)
ar。2 ,且ar有4 为：A0ar3的0列20a向r1 量1 ar组20;的ar5一 个5ar最1 大2a无r2.关组
a11 a12 ... a1n |A|= a21 a22 ... a2n
... ... ... ... an1 an2 ... ann
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3
定义2.6 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A的秩(rank),记为R(A).
对n阶方阵, 如果
分析 : 利用定理2.4,那么
1 -1 1
1 -1 1
(1)设A=
2
1
-1,由于A中只有一个3阶子式,即|A|= 2
1
-1 0
4 -1 1
4 -1 1
因此R( A) 3,故a1, a2, a3线性相关.
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6
例:讨论下列向量组:
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定理2.8 设有向量组T, 如果：
(1)在T中有r个向量1,2,L r线性无关; (2)T中任意一个向量都可以由向量组1,2,L r线性表示, 则1,2,L r是向量组T的一个最大无关组.
一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可 以保证它们都含有相同个数的向量.
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练习
1.
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2 1 1 1 2
2. 设矩阵
A
1
4
1 6
2 2
1 2
4
,
4
3
6
9
7
9
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。
而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，
故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。 这是因为
r a1
,
r a2
,
r a4
行变换 ~
1 0 0
1 1 0
1
1 1
,
R
(ar1
,
ar 2
,
ar 4
)
3,
故ar1
,
ar 2
,
ar4线性0 无0关0.
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(
不
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作业
▪ P72 ▪ 2.2: (1); 2.8; 2.9(3)
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定义2.7
设A为m n矩阵，若A满足下列三个条件：
1a11,a22 , L ,amm以下的元全为零； 2 每一行的第一个非零元前面的零元个数大于前一行这种
零元的个数；
3 如果某一行的元全为零，则以下所有行的元全为零。
则称A为行阶梯形矩阵。
其它向量用此最大无关组线性无示。
1＝（2，1，4，3）;
＝（-1，1，-6，6）;
2
3＝（-1，-2，2，-9）;
＝（1，1，-2，7）;
4
5＝（2，4，4，9）;
解：把它们按列排成矩阵A，对A施初 等行变换化为行最简型矩阵
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
A=
1
1
2
1
4
0
1
1
0
3
,
T 2
,
T 4
)
0 0
1 0
0
1
0
0
0
故1,2 , 4线性无关,由以上行最简形矩阵 可知:3 1 2,5 41 32 34.
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如果向量组1, 2 L
中的每一个向量都可以
s
由向量组1,2 ,L r线性表示,则称向量组1,
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定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在 列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。
1 0 0 0 0 1 0 0 0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
都是行最简矩阵。
0 0 1 0 0 0 0 1 4
0 0 0 1 ， 0 0 0 0 0
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2 L s可以由向量组1,2 ,L r线性表示.
定义2.9:如果向量组1, 2 L s与向量组1,2,L r
可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
引理2.1: (1)设向量组1, 2 L s可以由向量组1,2,L r 线性表示,如果s>r,则1, 2 L s线性相关.
(2)两个等价的向量组秩相等.
1
3
1
5
0
0
1 0
3
1
1 2 1 2 1
r3 r2
r4 r2
0
1
0
3
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2, 因此R(A)=2.
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定义 2.8 设有向量组T, 如果:
(1)在T中r个向量1,2,L r线性无关;
解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
行变换 A~
1 0 0
1 1 0
2 1 0
1 1 1
4
0 3
,
0
0
0
0
0
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1 1 2 1 4
A
~
0 0
1 0
1 0
1 1
0 3
,
0
0
0
0
0
知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含3个向量。
(1):a1 (1, 1,1), a2 (2,1, 1), a3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a2 (1,3, 4)的线性相关性.
分析：(2)设A
1 1
1 3
2 4
,由于矩阵A中有一个2阶子
式D2
1 1
1 2 0,
3
所以R( A) 2,因此向量组a1, a2线性无关.
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定理2.6 矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩 阵的非零行的行数。
例2.6 计算前面矩阵A的秩.
解：对系数矩阵A进行初等行变换：
1 2 1 2 1
1 2 1 2 1
A
1
1
1
1
2
r2 r1 r3 2r1
r4 r1
0
1
0 3
1
2 3 2 1 3
0 1 0 3 1
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1
2
2 0
3
A的三阶子式只有一个 A 经计算可知 A 0
因此R（A）=2。
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定理2.4 : m n矩阵A的m个行向量线性相关的 充要条件是R(A)<m.
例:讨论下列向量组:
(1):a1 (1, 1,1), a2 (2,1, 1), a3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a2 (1,3, 4)的线性相关性.