正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的

(1)全面积 S 全

2a ；

(2)体积

3； (3)对棱中点连线段的长

d=

2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。)

(4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3

(5)对棱互相垂直。

(6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3

(7)外接球半径

R= 4

a ； (8)内切球半径

a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.

如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则

①不含直角的底面ABC 是锐角三角形；

②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；

③体积 V= 16

a b c ； ④底面面积S △ABC

； ⑤S

2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S

2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 2222

1111OH a b c =++; ⑧外接球半径

⑨内切球半径 r=AOB

BOC AOC ABC S S S S a b c ∆∆∆∆++-++

A B C D O H

正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。