统计学 第3章集中量数

N
N
4、平均数的特点
3）在一组数据中，每一个数据都乘以一个常数C，则 所得的平均数为原来的平均数乘以常数C。
NX X
X X , N
NX X
5、平均数的优缺点
优点：
①反应灵敏。②计算严密。③计算简单。④简明易解。 ⑤符合代数方法进一步演算。⑥较少受抽样变动 的影响。
缺点：
3）在次数分布表中求中数取序
列 值中为把中数N平。分设为有两fm半d 个的数那据一均点匀的
La
Fa
N
的落在i区间内，那么每个数据
2
占i/ fmd 。至N/2这一段距离为
Lb
i/ （N/2-Fb），再加区间精确下限。
Fb
fmd
Md

Lb
(N 2
Fb )
i f Md
N Fa
Md La 2
X、Y
数据必须同质，具有相同测量单位；
要求每个数据都要准确可靠；
无极端值出现；
需要得到一个相对精确可靠的集中量数或进一步参与其 它运算。
3、计算方法
1）未分组数据计算平均数：
X x N
例3-1：有一组测验分数为79，67，80， 91，80，83，76，79，80，76。求其平均数。
正态时 三种指标大小 与分布形态有关
X Md Mo
正偏态
M＞Md ＞Mo

Mo Md M
负偏态
M＜Md ＜ Mo

M Md Mo
三者的关系
M o 3M d 2M
平均数为一个平衡点，是一组数据的重心，它使 数轴保持平衡，支点两侧的力矩是相等的；
中数只使两侧的数据个数相同； 众数是出现次数最多，即重量较大的那个数据。
二.中数
1、定义：中数，又称中点数，中位数。符号为Md 或Mdn（英文为median），中数是指位于一组 数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。
2、适用条件： 一组数据中有极端值出现时； 一组有序数据两端有个别数据模糊不清，或分
组资料不确定时； 当需要快速估计一组数据的代表值时。
3、计算方法
七.调和平均数（harmonic mean）
1. 定义：一组数据倒数的算术平均数的倒数。用
表示。M H
2. 应用：求平均学习速度问题 平均速度的概念：单位时间内的工作量
例如：P74
本章内容回顾:
一． 算术平均数 二． 中数 三． 众数 四． 平均数、中数、众数三者之间的关系 五． 加权平均数 六． 几何平均数 七． 调和平均数
MW
W1 X1 W2 X 2 W1 W2

72 4 86 6 46
80.4
3、计算方法
3）加权算数平均数(weighted mean)的计算：
用M W 表示
如高考的标准分换算法。 研究生入学考试总分不一样。 P69例3-7
3、计算方法
4）使用次数分布表计算平均数：
④求均数
45-49 3 47 141 40-44 1 42 42
∑ 48 －
∑ fXc /N
3231
3、计算方法
4）使用次数分布表计算平均数：一般变式：
X fX C N
Xc为各分组区间的组中值 f为各组次数.
为使组中值便于计算，可用估计平均数：
X AM fd i
N d X c AM
六.几何平均数
1、计算公式： 直接开多次方的运Mg算Hale Waihona Puke Baidu，n 难X1于 X进2 行，X因n此在计 算上常用取对数的方法：
lg Mg lg X i
N
2、几何平均数的应用
1）直接应用基本公式计算几何平均数： 一组数据有少数偏大或偏小，数据分布呈偏
态；
心理物理学中等距与等比量表实验中，只能用几何平均数。
第三章 集中量数
次数分布的两个基本特征：
集中趋势 离中趋势 用来描述一组数据这两种特点的统计量分别
称为集中量数和差异量数。这两种量数一起， 共同反映一组数据的全貌。
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
3、计算方法
3）加权算数平均数(weighted mean)的计算：用 M W表示
例如某生数学成绩， 期中72，期末86。期中期末的比重为4：
6。该生的学期成绩是多少？
MW
W1X1 W2 X 2 ...Wn X n W1 W2 ...Wn

Wi X i Wi
Wi为权数，所谓权数是指各变量在构成总体中的相对重要性， 每个变量的权数大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而 定，虽然是可变的，但绝不是没有根据的。
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
3、计算方法
2）一组数据中有重复数据 当重复数值没有位于数列中间时，求中数
与无重复数据时求中数的方法相同； 当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
缺点：
不是每个数据都加入计算，其大小不受制于全体； 反应不够灵敏，极端值的变化对中数不产生影响； 受抽样影响大，不够稳定； 计算时需要先排序；中数乘以总数与数据总和不相等； 中数不能作进一步代数运算等等。
4、中数的优缺点
适用情况：
①一组观测结果中出现两极端数目； ②次数分布的两端数据或个别数据不清楚，只
X 79 67 80 76 79.1 10
3、计算方法
2）用估计平均数计算平均数： X AM x
x' X i AM
N
AM为估计平均数 N为数据个数
例3-1：有一组测验分数为79，67，80，
91，80，83，76，79，80，76。求其平均数。
设AM=78
能取中数作为集中趋势的代表值； ③需要快速估计一组数据的代表值。
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
三.众数
1、概念：众数（Mode）又称为范数，密集 数，通常数等，常用符号Mo表示。众数 是指在次数分布中出现仅数最多的那个数 的数值。
2、求众数的方法
直接观察求次数出现最多的就是众数。 次数分布表中次数最多的分组区间的组中值为
众数。
3、众数的优缺点与应用
概念简单明了，容易理解； 不稳定，受分组影响，受样本变动影响； 计算时不需每一个数据都加入，较少受极
端数目的影响； 反应不灵敏； 不能作进一步代数运算； 总数乘以众数，与数据总和不相等。
①易受极端数据的影响。（截尾平均数） ②若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。 ③当分组数据组限不确定时，也不能计算算数平均数。 ④当数据不同质时，不宜使用算术平均数。
是否任何情况下都可 以使用平均数作为集 中量的代表值？
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
四.平均数、中数、众数三者之间的关系
1. 从对数据次数分布形态的适用性来看 对称分布：平均数 非对称分布：中位数、众数
四.平均数、中数、众数三者之间的关系
2、从计算的精确性看 平均数最精确、中位数次之、众数最差 3、从对统计分析的适用性看 平均数既可作描述统计量，又可作推论统
计量。中位数与众数常用作描述统计量。
布时
1．易受极端值的影 1、反应不够灵敏 1、反应不够灵敏
响
2、易受抽样变动 2、易受抽样变动影
不 2．数据模糊不清、
影响
响
足
缺失时无法计算 3．不适合代数运 3．不适合代数运算
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
例如：48名 小学生在瑞文 推理测验上的 成绩如表。试 问其推理的平 均成绩是多少？
分组
f
90-94 2
85-89 2
80-84 2
75-79 4
70-74 11
65-69 10
60-64 6
55-59 4
50-54 3
45-49 3
40-44 1
∑ 48
思路
分组 f Xc fXc
90-94 2 92 184
3、众数的优缺点与应用
当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表 值时；
当一组数据出现不同质的情况时； 当次数分布中有两极端的数目时； 当粗略估计次数分布的形态时； 当一组数据中同时有两个数值的次数都比
较多时。
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
平均数
中数
众数
① 感应灵敏② 严密确 ③④
定③ 意义简明，易理
于
优 点
解④ 容易计算⑤ 适合
代数法的处理⑥ 少受
抽
③④
样变动的影响
1．加权平均数 2．离差、相关计算 应 3、统计推断 用
1．有极端数值时 2．模糊数据时 3．快速估计集中
量数时
1．有极端数值时 2、数据不同质时 3、粗略估计数据的
集中量时 4．粗略估计次数分
i
4、平均数的特点
1）在一组数据中，每个变量与平均数之差（离均差） 的总和等于0；
X X 0
X X X X
NX NX 0
4、平均数的特点
2）在一组数据中，每个变量都加上一常数C， 所得的平均数为原来的平均数加上常数C；
( X i C) X i NC C X
1）一组数据中无重复数据
当数据个数为奇数时：X N 1
2 例如：求数列4、6、7、8、12的中数。
当数据个数为偶数时： X N +X N 1 22 2 例如：有2、3、5、7、8、10、15、19共计8个数， 求其中数。
3、计算方法
2）一组数据中有重复数据 当重复数值没有位于数列中间时，求中数
当重复数值位于数列中间时，数据为奇数 时
如求11、11、11、11、13、13、13、17、17中数。
当重复数值位于数列中间时，数据为偶数 时
如求11、11、11、11、13、13、13、17、17、18中数。
12.5 12.83 13.16 13.49
12
12.5 13
13.5
14
3、计算方法
①确定组中值（ Xc ） 85-89 2 87 174
②求m与f的乘积
80-84 2 82 164 75-79 4 77 308
（ fXc ）
70-74 11 72 792 65-69 10 67 670
③求mf的和
60-64 6 62 372 55-59 4 57 228
（∑ fXc ）
50-54 3 52 156
例如：P70 例3-8
2、几何平均数的应用
2）应用几何平均数的变式计算： 一组数据彼此间变异较大，几乎按一定的比 例关系变化，所要求的不是平均数，而是平 均增长率。平均增长率=平均发展速度-1
学习方面的进步率 学生或人口增加率 教育经费增加率
本章主要内容
一．算术平均数 二．中数 三．众数 四．平均数、中数、众数三者之间的关系 五．加权平均数 六．几何平均数 七．调和平均数
i
f md
组别
f
cf↑
cf↓
85-89
3
57
3
80-84
8
54
11
75-79 13
46
24
70-74 15
33
39
65-69
9
18
48
60-64
6
9
54
55-59
2
3
56
50-54
1
1
57
∑
57
—
—
4、中数的优缺点
优点：
中数是根据观测数据计算而来，不能凭主观意定。计 算简单、容易理解。
教学目标
理解各种集中量数的含义、性质、作用和应 用条件；
掌握各种集中量数的计算方法。 教学重点：算术平均数、中数、众数的特点
与应用 教学难点：恰当的集中量数的选择
一. 算术平均数
1、定义：算术平均数（arithmetic average），一
般称为平均数或均数、均值。用M表示。 2、适用条件