余弦定理的推导方法ppt课件

a 2 b2 c 2 2bc cos A
2
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,AC=Ab,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
aa2abb
2
b22aab bcos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b2 2ab cos C a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B
﹚
余弦定理
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余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
C
b
a
Ac
B
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（2）解析法
证明：以CB所在的直线为x 轴，过C点垂直于CB的直线 为y轴，建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点的坐标 分别为：
y x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
a2 b2 2abcosC
c2 a2 b2 2ab cosC
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C
（3）几何法
余弦定理作为勾股定理的推 b a 广，考虑借助勾股定理来证明
2.余弦定理
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c. （1）向量法
设
CB
a,
CA
b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
c ab
c (a b)
(a
b)
a
a
2
a
b2
b
b2a2bacobs
C
﹚
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b2 2ab cos C
1
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设
CB
a, CA
b,
AB
c
由向量减法的三角形法则得
c ab
c2 c c (a b)(a b)
﹚
aa2abb
2 b22aab bcos
C
a2 b2 2ab cos C
c 2 a 2 b2 2ab cos C
余弦定理。
Ac
B
当角C为锐角时
A
b
c
C
aD
B
当角C为钝角时
A c
b
D
Ca
B
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证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和 A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2(cbcos A)2
b
a b2sin2Ac2b2cos2A2bccos A
A
ຫໍສະໝຸດ Baiduc D
B b2c22bccos A
同理有： b2a2c22accosB
c2a2b22abcosC
7
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
推论：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2
cosC
2ab
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