高中数学选修2-1教案：3.1.3空间向量的数量积(集智备课)教案

集智备课教案

年级高二学科数学时间

2019.11.28 地点高二11班

集备课题 3.1.3空间向量的数量积

教材分析空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，空间向量的数量积运算是继空间向量的加、减、数乘运算后的又一种运算，是从平面到空间推广的实例，学生在学习过程中将充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标下的向量法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。

教学目标1.会识别空间向量的夹角；

2.能够由平面推广到空间；

3.掌握空间两向量数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解

决立体几何中的简单问题；

4.强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅

力.

教学重点难点

重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用；

难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

教学思路设计

内容与方法选择教学工具的使用和说明

类比归纳法PPT演示辅助

教学步骤相关说明

一、回顾引入

根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.

回顾平面向量数量积相关知识点：由平面向量的数量积发现过程引入

二、新课讲授

任意两个向量都共面，平间向量数量积可推广到空面向量数量积。

1. 两个向量的夹角的定义：

如图,已知两个非零向量、

a b ,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则角AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作:,a b .

问1： 和 是同一个角么？ （1）是。两个向量的夹角是唯一确定的！ 问2：空间向量夹角的范围是什么？ （2）

（3）,0a b <>=时a 与b 同向 ,a b π<>=时a 与b 反向 ,2

a b π

<>=

时a b ⊥

2. 两个向量的数量积

已知空间两个非零向量、

a b ,则cos ,a b a b 〈〉叫做、a b 的数量积,记作a b ⋅.即cos ,a b a b a b ⋅=〈〉.

注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量;

将表格中平面向量数量积逐条推广到空间向量数量积

②规定:0与任意向量的数量积等于0； ③

问题：类比平面向量，你能说出a b ⋅的几何意义么？

数量积的几何意义

数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b <>的乘积

3. 空间两个向量的数量积性质

显然,对于非零向量、

a b ,e 是单位向量有下列性质: ①cos ,a e a a e ⋅=； ②0;a b a b ⊥⇔⋅= ③2

a a a =⋅也就是说2

a a =

.

4. 空间向量的数量积满足的运算律

⑴ ()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵ a b b a ⋅=⋅(交换律)

⑶ ()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)

注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、 完全平方公式、十字相乘等均成立。

思考1：对于向量,,a b c ，由a b a c ⋅=⋅能得到b c =吗？如果不能，请举出反例.

不能。

③为立体几何问题

中向量法求角做准备

思考2：对于向量,a b ，若,a b k =，能否写成k a b =（或k

b a =）

也就是说向量有除法吗？

不能，向量没有除法。

思考3：对于向量,,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？

令，则原式变为

左边是一个与向量c 共线的向量，右边是一个与向量a 共线

的向量，而向量c 与a 不一定共线.因此不成立。

②可用于证明两向

量垂直

③可用于求向量的长度（模）

三、例题讲授

牛刀小试：

1. 已知2,2,2a b a b ==⋅=,则a b 与的夹角大小为_____.

2. 判断真假:

1）若0,a b ⋅=则0a =或0b = ( ) 2） （ ） 例题讲授：

例1：如图：已知空间四边形的每条边和对角线长都为1，点分别是的中点.计算：

（1）⋅EF BA （2）⋅EF BD

（3）⋅EF DC （4）⋅EF AC

例2：如图：在平行六面体中求的长.

例3：已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.

四、小结作业

1.夹角的定义

1）两向量夹角是唯一确定的

2）夹角范围

3）特殊夹角及对应两向量位置关系

2.数量积

定义

几何意义

3.向量数量积性质：证明向量垂直方法；求向量长度方法

4.运算律：没有除法，没有乘法结合律师生共同回顾知识点，强调重点

板书设计

§3.1.3空间向量的数量积运算

1.夹角

2.数量积定义：

3.数量积性质：

4.运算律

作业布置课本92页练习教学反思