线性代数第7章线性代数在经济学中应用

n b1 n 1 s1b2 n 2 s1
n
sn 2bn 1
sn 1bn
i 1
n s1
si 1bi n i .
n=1时等式成立.设对于n等式成立.按最后一列 展开得到递推公式 Dn bn s1 sn 1 Dn 1
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记非负矩阵 b1 b2 s 0 1 L 0 s2 0 0 则等式 I 写作 X (t 1) LX (t ). 递推得 X (t ) Lt X (0), t 1,2, . bn 1 bn 0 0 0 0 , sn 1 0
>
L:=matrix([[b1,b2,b3,b4],[s1 ,0,0,0],[0,s2,0,0],[0,0,s3,0]]); det(lambda*diag(1,1,1,1)-L);
b1 s1 L := 0 0
b2 0 s2 0
b3 0 0 s3
b4 0 0 0
7
Dn 1 s1 s1
sn bn 1 Dn
n
n sn bn 1 s1 i 1
n 1
si 1bi
n i

s1
i 1
n 1
si 1bi
n 1i
.
即等式对于n+1也成立,根据数学归纳法,等式对 于任意自然数成立. n n s1 si 1bi n n i n Dn ( ) s1 si 1bi (1 ) i
4 3 b1s1 b2 2s1 s2 b3 s1 s2 b4 s3
此式称为莱斯利人口模型, X (0)为初始人口分布. 矩阵L称为莱斯利矩阵.
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二、莱斯利矩阵的特征值和特征向量
定理 如果 (1) si 0, i 1,2, , n 1; 则 1 矩阵L有唯一单重正特征值0 , 属于0的正特征向量是 s1 s1s2 s1s2 sn 1 1, , 2 , , ; n 1 0 0 0 2 如果至少两个顺次的bi 0, 则L的其他特征值的绝对值
i 1
n
xi 1 (t 1) sixi (t ), i 1,2, , n 1.
第一个等式表示, 在第t 1个时间段, 第一个年龄组的人口 等于前一个时间段生育婴儿的总和(其中已经扣除了存活 不到下一个时间段的那些婴儿), 第二个等式表示时间段t 存活到下一时间段的第i 1年龄组的人口数.
z1 az2 .
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部分证明 (1)
Dn | E L |
b1
s1 0 0
b2

s2 0 s1
bn 1 0 0 sn 1
bn 0 0
Байду номын сангаас
b1 b2 s 0 1 0 s2 0 0
bn 1 bn 0 0 0 0 sn 1 0
, n.
2
bi , si , xi (0)(i 1,2, , n)均可以由统计资料获得. 定义向量
X (t ) ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )) ,
T
这是在第t个时间段各年龄组的人口分布数.根据si , bi , xi (t )的意义有等式
(I)
x1 (t 1) bi xi (t ),
* T
(2)bi 0,并且至少有一个bi 0,
小于0 ; (3)如果至少两个顺次的bi 0, 则 lim
t
X (t )
0t
c * ,
5
其中常数c是与初始人口向量X (0)有关的常数.
证明中用到的知识：
1.重根 如果多项式 p( ) 在 0 有重根,则 p(0 ) 0, p(0 ) 0. s p ( ) ( ) q( ), s 1. 证 0 p( ) s( 0 ) s 1 q( ) ( 0 ) s q( ), p(0 ) 0.
第七章 线性代数在经济学中的应用
§1 莱斯利人口模型 §2 列昂季耶夫投入产出分析
最后两次课的内容是复习内容.
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§1 莱斯利人口模型 一、莱斯利人口模型的建立 设妇女最大年龄为N,把年龄等分为n个年龄 段，第i个年龄段为
((i 1) N / n, iN / n ], i 1,2,
, n.
时间以一个年龄段为单位，从而时间离散化 为 t 0,1, , 设在时段t, 第i个年龄段的人口数 为 xi (t ), i 1, , n 和 si , bi 0, si 0, i 1, 第i个年龄段的生育率和存活率分别为 bi
(cos i sin ) cos n i sin n .
n
2. 棣莫弗(De Moivre, A.)公式
r
cos

sin
3. 三角不等式 如果 z1 0, z2 0,
| z1 z2 || z1 | | z2 |,
等号成立的充分必要条件是存在 a 0, 使得
i 1 i 1

(1 f ( )).
n
8
令
有一项非零 , f(x)是单调严格下降连续函数,并且 f ( ) ( x 0), f ( ) 0( x ).
i 1 i
f ( )
n
s1
si 1bi
,根据条件,求和号中至少
根据连续函数的中间值定理,存在唯一 0 0,使 得 f (0 ) 1, 即 Dn (0 ) 0. 0 是唯一正特征值. n Dn ( ) (1 f ( )),
n 1 n Dn ( ) n (1 f ( )) f ( ),
f ( )
i 1
n
is1

i 1
si 1bi
,
(0 ) 0.0 是单根. 9 1 f (0 ) 0, f (0 ) 0 Dn